Αντίστροφο του βιβλίου

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 903
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Αντίστροφο του βιβλίου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Πέμ Μαρ 15, 2018 9:49 pm

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R} για την οποία, για κάθε x_{1},x_{2}\in \mathbb{R} ισχύει:

\displaystyle{f(x_{1})-f(x_{2})=(x_{1}-x_{2})f'\left ( \frac{x_{1}+x_{2}}{2} \right )}
  • Να αποδείξετε ότι η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και ότι για κάθε x_{1},x_{2}\in \mathbb{R} ισχύει:

    \displaystyle{f'(x_{1})=f'\left ( \frac{x_{1}+x_{2}}{2} \right )+(x_{1}-x_{2})f''\left ( \frac{x_{1}+x_{2}}{2} \right )}
  • Να αποδείξετε ότι η f είναι δευτεροβάθμια πολυωνυμική συνάρτηση, δηλαδή ότι υπάρχουν a,b,c\in \mathbb{R} τέτοια ώστε για κάθε x\in \mathbb{R} να ισχύει f(x)=ax^{2}+bx+c.
Αν, επιπλέον, γνωρίζετε ότι f(x)\geq c, για κάθε x\in \mathbb{R} και \displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{f^{2}(x)-2x^{2}f(x)}{x^{4}}=-c^{2}-1, τότε:
  • Να αποδείξετε ότι f(x)=x^{2}, x\in \mathbb{R}.
  • Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f και τις εφαπτομένες της f, που διέρχονται από το σημείο A\left ( 0,-1 \right ).
Φιλικά,
Μάριος


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2249
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Αντίστροφο του βιβλίου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Παρ Μαρ 16, 2018 12:20 am

1.Είναι \displaystyle{\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}=f'(\frac{x_1+x_2}{2}) \forall x_1\ne x_2} και \displaystyle{f} παραγωγίσιμη πχ ως προς \displaystyle{x_2} αρα \displaystyle{f'(\frac{x_1+x_2}{2})} παραγωγίσιμη ως προς \displaystyle{x_1} και για \displaystyle{x_2=x_1} παραγωγίσιμη στο R

παραγωγίζω ως προς \displaystyle{x_1} kαι έχω \displaystyle{f'(x_1)=1.f'(\frac{x_1+x_2}{2})+\frac{x_1-x_2}{2}f''(\frac{x_1+x_2}{2})}

παραγωγίζω ως προς \displaystyle{x_2} kαι έχω \displaystyle{-f'(x_2)=-1.f'(\frac{x_1+x_2}{2})+\frac{x_1-x_2}{2}f''(\frac{x_1+x_2}{2})}


2.Αφαιρώντας έχω \displaystyle{f'(x_1)+f'(x_2)=2f'(\frac{x_1+x_2}{2})}

Aρα \displaystyle{f''(x_1)=f''(\frac{x_1+x_2}{2})=f''(x_2)}

οπότε \displaystyle{f''(x)=2a , f'(x)=2ax+b , f(x)=ax^2+bx+c}


3.\displaystyle{ax^2+bx+c\ge c} τοτε \displaystyle{x(ax+b)\ge 0 \forall  x\in R }\displaystyle{b\ne 0} η παράσταση \displaystyle{x(ax+b)} αλλαζει πρόσημο στο \displaystyle{0}
τότε \displaystyle{b=0 , a\ge 0} kai \displaystyle{\lim_{x\to -\infty}{\frac{(ax^2+c)^2-2x^2(ax^2+c)}{x^4}}=a^2-2a=-c^2-1}

ώστε \displaystyle{(a-1)^2+c^2=0} αρα \displaystyle{a=1,c=0 ,b=0}


4.\displaystyle{y-u^2=2u(x-u) ,y=2ux-u^2} η εξίσωση της τυχαίας εφαπτομένης Για να διέρχεται απο το \displaystyle{x=0,y=-1} πρεπει \displaystyle{u=\pm 1}
και το \displaystyle{E=1/2.(1+1)(1+1)-\int_{-1}^{1}{x^2dx}=2-(1/3+1/3)=4/3}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης