Αντίστροφο του βιβλίου

M.S.Vovos · #1

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ για την οποία, για κάθε $x_{1},x_{2}\in \mathbb{R}$ ισχύει:

$\displaystyle{f(x_{1})-f(x_{2})=(x_{1}-x_{2})f'\left ( \frac{x_{1}+x_{2}}{2} \right )}$

Να αποδείξετε ότι η είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και ότι για κάθε $x_{1},x_{2}\in \mathbb{R}$ ισχύει:

$\displaystyle{f'(x_{1})=f'\left ( \frac{x_{1}+x_{2}}{2} \right )+(x_{1}-x_{2})f''\left ( \frac{x_{1}+x_{2}}{2} \right )}$

Να αποδείξετε ότι η είναι δευτεροβάθμια πολυωνυμική συνάρτηση, δηλαδή ότι υπάρχουν $a,b,c\in \mathbb{R}$ τέτοια ώστε για κάθε $x\in \mathbb{R}$ να ισχύει $f(x)=ax^{2}+bx+c$ .

Αν, επιπλέον, γνωρίζετε ότι $f(x)\geq c$ , για κάθε $x\in \mathbb{R}$ και $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{f^{2}(x)-2x^{2}f(x)}{x^{4}}=-c^{2}-1$ , τότε:

Να αποδείξετε ότι $f(x)=x^{2}$ , $x\in \mathbb{R}$ .

Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της και τις εφαπτομένες της , που διέρχονται από το σημείο $A\left ( 0,-1 \right )$ .

Φιλικά,
Μάριος

#2

1.Είναι $\displaystyle{\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}=f'(\frac{x_1+x_2}{2}) \forall x_1\ne x_2}$ και $\displaystyle{f}$ παραγωγίσιμη πχ ως προς $\displaystyle{x_2}$ αρα $\displaystyle{f'(\frac{x_1+x_2}{2})}$ παραγωγίσιμη ως προς $\displaystyle{x_1}$ και για $\displaystyle{x_2=x_1}$ παραγωγίσιμη στο R

παραγωγίζω ως προς $\displaystyle{x_1}$ kαι έχω $\displaystyle{f'(x_1)=1.f'(\frac{x_1+x_2}{2})+\frac{x_1-x_2}{2}f''(\frac{x_1+x_2}{2})}$

παραγωγίζω ως προς $\displaystyle{x_2}$ kαι έχω $\displaystyle{-f'(x_2)=-1.f'(\frac{x_1+x_2}{2})+\frac{x_1-x_2}{2}f''(\frac{x_1+x_2}{2})}$

2.Αφαιρώντας έχω $\displaystyle{f'(x_1)+f'(x_2)=2f'(\frac{x_1+x_2}{2})}$

Aρα $\displaystyle{f''(x_1)=f''(\frac{x_1+x_2}{2})=f''(x_2)}$

οπότε $\displaystyle{f''(x)=2a , f'(x)=2ax+b , f(x)=ax^2+bx+c}$

3. $\displaystyle{ax^2+bx+c\ge c}$ τοτε $\displaystyle{x(ax+b)\ge 0 \forall x\in R }$ Aν $\displaystyle{b\ne 0}$ η παράσταση $\displaystyle{x(ax+b)}$ αλλαζει πρόσημο στο $\displaystyle{0}$
τότε $\displaystyle{b=0 , a\ge 0}$ kai $\displaystyle{\lim_{x\to -\infty}{\frac{(ax^2+c)^2-2x^2(ax^2+c)}{x^4}}=a^2-2a=-c^2-1}$

ώστε $\displaystyle{(a-1)^2+c^2=0}$ αρα $\displaystyle{a=1,c=0 ,b=0}$

4. $\displaystyle{y-u^2=2u(x-u) ,y=2ux-u^2}$ η εξίσωση της τυχαίας εφαπτομένης Για να διέρχεται απο το $\displaystyle{x=0,y=-1}$ πρεπει $\displaystyle{u=\pm 1}$
και το $\displaystyle{E=1/2.(1+1)(1+1)-\int_{-1}^{1}{x^2dx}=2-(1/3+1/3)=4/3}$

Αντίστροφο του βιβλίου

Αντίστροφο του βιβλίου

Re: Αντίστροφο του βιβλίου

Μέλη σε σύνδεση