Σύνολο τιμών

KARKAR · #1

Βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης : $f(x)=\dfrac{x}{x-1}-\dfrac{1}{lnx}$

#2

$\displaystyle{D_f=(0,1)\cup (1,+\infty)}$

Ευκολα τα ορια στο $\displaystyle{0+}$ και στο $\displaystyle{+\infty}$ είναι αντίστοιχα το $\displaystyle{0}$ kai $\displaystyle{1}$ αντίστοιχα

το οριο στο $\displaystyle{1}$ μετα 2 DLH είναι το $\displaystyle{1/2}$

$\displaystyle{f'(x)=\frac{1/x}{ln^2x}-\frac{1}{(x-1)^2}}$ δείχνουμε ότι $\displaystyle{f'(x)>0}$ για $\displaystyle{x>1}$ αρκεί $\displaystyle{\frac{x-1}{\sqrt{x}}>lnx}$
ή $\displaystyle{y-1/y-2lny=g(y)>0}$ oπου $\displaystyle{\sqrt{x}=y\ge 1}$

$\displaystyle{g'=(1-\frac{1}{y})^2>0}$

$\displaystyle{g(y)>g(1)=0}$

για $\displaystyle{x<1}$ αρκεί $\displaystyle{\frac{-x+1}{\sqrt{x}}>-lnx}$ ή $\displaystyle{-y+1/y+2lny=-g(y)}$ oπου $\displaystyle{\sqrt{x}=y\le 1}$ με την αρα $\displaystyle{g}$ φθίνουσα και επειδή $\displaystyle{y<1}$ πάλι $\displaystyle{g(y)>0}$

Αρα συνολο τιμών είναι το $\displaystyle{(0,1/2)\cup(1/2,1)}$

KARKAR · #3

Αφού ευχαριστήσω τον Ροδόλφο για την περίτεχνη προσέγγιση ( και αποδεχθώ τον υπολογισμό των ορίων ! ) ,

ας γράψω μία πιο "σχολική" :

Αρκεί να δείξουμε ότι η

είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα (0,1)

και $(1,+\infty)$

Επειδή : $f'(x)=\dfrac{1}{xln^2x}-\dfrac{1}{(x-1)^2}$ , αρκεί να είναι : $(x-1)^2>xln^2x , \forall x>0 , x\neq 1$ $(\ast)$

Θεωρώ την συνάρτηση : g(x)=(x-1)^2-xln^2x , x>0

, για την οποία είναι :

g'(x)=2x-ln^2x-2lnx-2

και $g''(x)=\dfrac{2}{x}(x-1-lnx)$ . Αλλά $g''(x)\geq 0$ ,

(με το "="

μόνο για

) και αφού $x-1\geq lnx$ , δηλαδή η g'(x)

είναι γνησίως αύξουσα

και έχει μοναδική ρίζα την προφανή : x=1

.

Συνεπώς η g(x)

είναι γν. φθίνουσα στο (0,1)

και γν. αύξουσα στο $(1,+\infty)$ , με ελάχιστη τιμή το g(1)=0

.

Δηλαδή $g(x)\geq 0$ ή $(x-1)^2-xln^2x\geq 0$ . ( Η ισότητα δεν ισχύει για την $(\ast)$ )

Σύνολο τιμών

Σύνολο τιμών

Re: Σύνολο τιμών

Re: Σύνολο τιμών

Μέλη σε σύνδεση