Ρίζες εναλλάξ

KARKAR · #1

Δίνονται οι συναρτήσεις : $f(x)=e^x \sin x-2$ και $g(x)=e^x\cos x+2$ .

α) Δείξτε ότι και οι δύο έχουν μόνο θετικές ρίζες .

β) Βρείτε διάστημα μήκους

, στο οποίο να περιέχεται η μικρότερη ρίζα της

. Το ίδιο για την

.

γ) Δείξτε ότι ανάμεσα σε δύο οποιεσδήποτε διαδοχικές ρίζες της

, βρίσκεται ρίζα της

.

Γ.-Σ. Σμυρλής · #2

Ἀπάντηση στὸ ἐρώτημα γ).

Κατ᾽ἀρχὰς οἱ

καὶ

δὲν ἔχουν κοινὴ ρίζα.

Ἂν f(x)=g(x)=0

, τότε $\cos x=-\sin x$ . Καθὼς οἱ

καὶ

μηδενίζονται μόνο γιὰ x>0

,
τότε $x_n=3\pi/4+n\pi$ , $n=0,1,2,\ldots$ . Ἂν $x_n=3\pi/4+n\pi$ , τότε $e^{x_n}|\cos x_n|>e^{3\pi/4}/sqrt{2}/2>2$ .

Ἔστω f(r_1)=f(r_2)=0

καὶ $f(x)\ne 0$ στὸ (r_1,r_2)

.

Ἄν $g(x)\ne 0$ , στὸ (r_1,r_2)

, τότε $g(x)\ne 0$ , στὸ [r_1,r_2]

,
καὶ ἄρα ἡ h=f/g

ὁρίζεται καλῶς καὶ εἶναι διαφορίσιμη στὸ [r_1,r_2]

, καὶ

. Χάριν τοῦ Θ. Rolle, ὑπάρχει
$\xi\in (r_1,r_2)$ , ὥστε

$\displaystyle{ 0=h'(\xi)=\frac{f'(\xi)g(\xi)-f(\xi)g'(\xi)}{g^2(\xi)} }$

καὶ ἄρα $f'(\xi)g(\xi)-f(\xi)g'(\xi)=0$ .

Ὅμως

$\displaystyle{ f'(x)g(x)-f(x)g'(x)&=\big(e^x\sin x+e^x\cos x\big)(e^x\cos x+2)-\big(e^x\sin x-2\big)(e^x\cos x-e^x\sin x) }$
$\displaystyle{ =e^x(e^x+2\cos x)>0 }$

διὰ κάθε x>0

. Ἄτοπο.

KARKAR · #3

Κάπως διαφορετικά :

Είναι : $f(x)=e^x(\sin x-\dfrac{2}{e^x})=e^xh(x)$ , με : $h(x)=\sin x-\dfrac{2}{e^x}$

Επειδή e^x>0

, οι ρίζες της

είναι ρίζες και της

, οπότε , αν a , b

, δύο διαδοχικές

ρίζες της

, από θ. Rolle για την

στο

, θα υπάρχει $x \in (a , b)$ : h'(x)=0

ή ισοδύναμα : $\cos x+\dfrac{2}{e^x}=0\Leftrightarrow e^x\cos x+2=0$ , ο.ε.δ.

Christos.N · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 18, 2022 7:38 pm
Δίνονται οι συναρτήσεις : $f(x)=e^x \sin x-2$ και $g(x)=e^x\cos x+2$ .

β) Βρείτε διάστημα μήκους , στο οποίο να περιέχεται η μικρότερη ρίζα της . Το ίδιο για την .

Ας δούμε το β)

KARKAR · #5

Για την

, Bolzano στο [0,1]

. Είναι :

και : $f(1)=e(\sin1-\dfrac{2}{e})$

Αλλά : $1>\dfrac{3\pi}{10}$ , οπότε : $\sin1>\sin(\dfrac{3\pi}{10})=\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}>\dfrac{2}{e}$ , αφού :

$\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}>\dfrac{3}{4}>\dfrac{2}{2.7}>\dfrac{2}{e}$

Για την

, Bolzano στο [1,2]

. Είναι :

και : $g(2)=e^2(\cos2+\dfrac{2}{e^2})<0$

αφού : $\cos 2<\cos(\dfrac{3\pi}{5})=\dfrac{1-\sqrt{5}}{4}<-\dfrac{2}{7}<-\dfrac{2}{e^2}$ ,

δηλαδή : $\cos2+\dfrac{2}{e^2}<0$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 24, 2022 2:57 pm
Για την , Bolzano στο . Είναι : και : $f(1)=e(\sin1-\dfrac{2}{e})$

Αλλά : $1>\dfrac{3\pi}{10}$ , οπότε : $\sin1>\sin(\dfrac{3\pi}{10})=\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}>\dfrac{2}{e}$ , αφού :

$\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}>\dfrac{3}{4}>\dfrac{2}{2.7}>\dfrac{2}{e}$

Για την , Bolzano στο . Είναι : και : $g(2)=e^2(\cos2+\dfrac{2}{e^2})<0$

αφού : $\cos 2<\cos(\dfrac{3\pi}{5})=\dfrac{1-\sqrt{5}}{4}<-\dfrac{2}{7}<-\dfrac{2}{e^2}$ ,

δηλαδή : $\cos2+\dfrac{2}{e^2}<0$ .

Εύκολα βλέπουμε ότι για την

είναι το
$[\frac{\pi }{4},1]$
και για την

το
$[\frac{\pi }{2},2]$
Το εύκολα πάει ότι την δουλεία την δύσκολη την έκανε ο Θανάσης

KARKAR · #7

: Εναλλάξ.png (24.19 KiB) Προβλήθηκε 1349 φορές

Ας βάλουμε και ένα σχήμα . Είναι προφανές ότι για $x\leq 0$ , η

παίρνει μόνον αρνητικές τιμές ,

ενώ η

, μόνο θετικές ( αφού τότε : $\dfrac{2}{e^x}\geq 2$ ) , για να απαντηθεί και το (απλό) πρώτο ερώτημα .

Ρίζες εναλλάξ

Ρίζες εναλλάξ

Re: Ρίζες εναλλάξ

Re: Ρίζες εναλλάξ

Re: Ρίζες εναλλάξ

Re: Ρίζες εναλλάξ

Re: Ρίζες εναλλάξ

Re: Ρίζες εναλλάξ

Μέλη σε σύνδεση