Πολεμικό όριο

KARKAR · #1

Για την συνάρτηση : $f(x)=\dfrac{2}{x^\frac{1}{3}-1}-\dfrac{3}{x^\frac{1}{2}-1}$ , υπολογίστε το : $\lim\limits_{x \to 1}f(x)$

gb1234 · #2

Καλησπέρα! Δίνω μια λύση στο όριο.
Το δοθέν ξαναγράφεται $\lim_{x \rightarrow 1}f(x)=\lim_{x \to 1} \frac{-3\sqrt[3]{x}+2\sqrt{x}+1}{(\sqrt[3]{x}-1)(\sqrt{x}-1)}$
και απο κανόνες de l'Hôpital για την απροσδιοριστία 0/0 θα έχω:
$\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{\sqrt[3]{x}-1}{2\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}-1}{3x^{\frac{2}{3}}}}=\lim_{x\rightarrow 1} 6\frac{x^{\frac{2}{3}}-\sqrt{x}}{-3x^{\frac{2}{3}}-2\sqrt{x}+5x}=6\lim_{x\rightarrow 1} \frac{x^{\frac{2}{3}}-\sqrt{x}}{-3x^{\frac{2}{3}}-2\sqrt{x}+5x}$ και εφαρμόζοντας κανόνες de l'Hôpital για την ίδια μορφή απροσδιοριστίας προκύπτει το όριο:
$6\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\frac{-1}{2\sqrt{x}}+\frac{2}{3x^{\frac{2}{3}}}}{5-\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{2}{\sqrt[3]{x}}}=6\lim_{x\rightarrow 1} \frac{3\sqrt[3]{x}-4\sqrt{x}}{6(-5x^{\frac{5}{6}}+\sqrt[3]{x}+2\sqrt{x})}=6\cdot \frac{1}{12}=\frac{1}{2}$

gb1234 · #3

Παραθέτω και μια δεύτερη πιο εύκολη λύση.
Όπως και πριν το δοθέν μετασχηματίζεται σε $\small \lim_{x\rightarrow 1}f(x)=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{2\sqrt{x}-3\sqrt[3]{x}+1}{(\sqrt[3]{x}-1)(\sqrt{x}-1)}$ . Αν στο όριο που προκύπτει θέσουμε $\small \sqrt[6]{x}=u$ τότε $\small \sqrt{x}=u^3$ και $\small \sqrt[3]{x}=u^2$ με $\small \lim_{x\rightarrow 1}\sqrt[6]{x}=1$ άρα το όριο παίρνει τη μορφή $\small \lim_{u\rightarrow 1} \frac{2u^3-3u^2+1}{(u^2-1)(u^3-1)}=\lim_{u\rightarrow 1}\frac{(u-1)^2(2u+1)}{(u-1)^2(u+1)(u^2+u+1)}=\lim_{u\rightarrow 1} \frac{2u+1}{(u+1)(u^2+u+1)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

mick7 · #4

Συμφωνεί και το λογισμικό...

Πολεμικό όριο

Πολεμικό όριο

Re: Πολεμικό όριο

Re: Πολεμικό όριο

Re: Πολεμικό όριο

Μέλη σε σύνδεση