Κυκλικό τρισορθογώνιο
Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3355
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Κυκλικό τρισορθογώνιο
Μου προέκυψε καθώς προσπαθούσα να χωρέσω τρία ψωμάκια σε σχετικά μικρό πιάτο:
Να υπολογισθεί το μέγιστο δυνατόν συνολικό εμβαδόν τριών ίσων ορθογωνίων (μη αλληλοεπικαλυπτόμενων) συμμετρικά τοποθετημένων (όπως στο σχήμα) εντός κύκλου ακτίνας .
Να υπολογισθεί το μέγιστο δυνατόν συνολικό εμβαδόν τριών ίσων ορθογωνίων (μη αλληλοεπικαλυπτόμενων) συμμετρικά τοποθετημένων (όπως στο σχήμα) εντός κύκλου ακτίνας .
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Κυκλικό τρισορθογώνιο
Καλημέρα Γιώργο και καλό υπόλοιπο καλοκαιριού.
Έστω η μεγάλη και η μικρή πλευρά του ορθογωνίου. Στο σχήμα η γωνία , οπότε .
Για τη μεγιστοποίηση του εμβαδού, έστω οι επίκεντρες γωνίες όπως φαίνονται στο σχήμα ( λόγω συμμετρίας). Έχουμε
.
Η ισότητα επιτυγχάνεται για , όπου οι κορυφές των ορθογωνίων στον κύκλο σχηματίζουν κανονικό εξάγωνο. Το συνολικό εμβαδόν είναι και καλύπτει μέρος του δίσκου.
Καλημέρα σε όλους τους φίλους,
Δ. Σκουτέρης
Έστω η μεγάλη και η μικρή πλευρά του ορθογωνίου. Στο σχήμα η γωνία , οπότε .
Για τη μεγιστοποίηση του εμβαδού, έστω οι επίκεντρες γωνίες όπως φαίνονται στο σχήμα ( λόγω συμμετρίας). Έχουμε
.
Η ισότητα επιτυγχάνεται για , όπου οι κορυφές των ορθογωνίων στον κύκλο σχηματίζουν κανονικό εξάγωνο. Το συνολικό εμβαδόν είναι και καλύπτει μέρος του δίσκου.
Καλημέρα σε όλους τους φίλους,
Δ. Σκουτέρης
- Συνημμένα
-
- math.png (303.99 KiB) Προβλήθηκε 837 φορές
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3355
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Κυκλικό τρισορθογώνιο
Θεαματικά απλή η λύση σου, Δημήτρη! Η δική μου -- παρατίθεται παρακάτω -- όχι τόσο απλή, αν και επίσης τριγωνομετρική και άνευ Λογισμού: παρά τον φάκελο, η χρήση παραγώγων (και μη τριγωνομετρικής προσέγγισης) δεν φαίνεται εφικτή (χωρίς πολύ κόπο ίσως)!
Στην δική μου προσέγγιση, λοιπόν, εκφράζουμε τα πάντα ως συνάρτηση της 'απόμακρης' γωνίας (όπου ):
Από το ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε , οπότε από Νόμο Ημιτόνων στο τρίγωνο λαμβάνουμε . Και πάλι από το ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε , οπότε από το ορθογώνιο τρίγωνο λαμβάνουμε . Εύκολα τώρα υπολογίζεται και το μήκος της άλλης πλευράς του ορθογωνίου ως , οπότε το συνολικό εμβαδόν των τριών ορθογωνίων γράφεται ως
.
Προφανώς το εμβαδόν μεγιστοποιείται όταν ελαχιστοποιείται το , όταν δηλαδή , και το μέγιστο εμβαδόν ισούται προς .
Όχι, δεν είχα αντιληφθεί ότι το μέγιστο εμβαδόν 'αντιστοιχεί' σε κανονικό εξάγωνο (όπως παρατηρεί παραπάνω ο Δημήτρης)
[Μια και έχουμε -- προς το παρόν τουλάχιστον -- εκφακελωθεί ... ας επισημάνω τουλάχιστον ότι χρησιμοποιήθηκαν οι τριγωνομετρικοί τύποι και ]
Στην δική μου προσέγγιση, λοιπόν, εκφράζουμε τα πάντα ως συνάρτηση της 'απόμακρης' γωνίας (όπου ):
Από το ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε , οπότε από Νόμο Ημιτόνων στο τρίγωνο λαμβάνουμε . Και πάλι από το ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε , οπότε από το ορθογώνιο τρίγωνο λαμβάνουμε . Εύκολα τώρα υπολογίζεται και το μήκος της άλλης πλευράς του ορθογωνίου ως , οπότε το συνολικό εμβαδόν των τριών ορθογωνίων γράφεται ως
.
Προφανώς το εμβαδόν μεγιστοποιείται όταν ελαχιστοποιείται το , όταν δηλαδή , και το μέγιστο εμβαδόν ισούται προς .
Όχι, δεν είχα αντιληφθεί ότι το μέγιστο εμβαδόν 'αντιστοιχεί' σε κανονικό εξάγωνο (όπως παρατηρεί παραπάνω ο Δημήτρης)
[Μια και έχουμε -- προς το παρόν τουλάχιστον -- εκφακελωθεί ... ας επισημάνω τουλάχιστον ότι χρησιμοποιήθηκαν οι τριγωνομετρικοί τύποι και ]
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες