ΘΕΜΑ

Λάμπρος Κατσάπας · #1

Δίνονται οι συναρτήσεις

$\varphi (x)=(2-x) e^{-x}-1,x\in \mathbb{R}$ και $f(x)=(x-1)(e^{-x}-1),x\in \mathbb{R}.$

1. α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $\varphi$ έχει μοναδική πραγματική ρίζα $\rho$ .

β) Να δείξετε ότι ισχύει $\rho =\ln (2-\rho )$ και έπειτα ότι $0<\rho<1/2$ .

2. Να μελετήσετε τη συνάρτηση

ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

3. Να αποδείξετε ότι

α) η συνάρτηση $F(x)=x-xe^{-x}-\dfrac{x^2}{2}$ είναι μια παράγουσα της

.

β) $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}f(\eta \mu x)dx>\dfrac{e-2}{2e}.$

4. Αν για την παραγωγίσιμη και κυρτή στο $\mathbb{R}$ συνάρτηση

ισχύει

, για κάθε $x\in [0,1]$ ,

να αποδείξετε ότι

α) υπάρχει $x_1\in (0,1)$ τέτοιο, ώστε g(x_1 )=0

και ${g}'(x_1 )>0$ .

β) $\lim_{x\rightarrow +\infty }g(x)=+\infty .$

5. Αν για τους πραγματικούς αριθμούς $\alpha, \beta$ ισχύει $\alpha <\rho<\beta$ ,

όπου $\rho$ η ρίζα της συνάρτησης $\varphi$ , και $f(\alpha )=f(\beta )$

να αποδείξετε ότι $\left | \alpha -\rho \right |<\left | \beta -\rho \right |.$

#2

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 06, 2023 12:24 am
Δίνονται οι συναρτήσεις

$\varphi (x)=(2-x) e^{-x}-1,x\in \mathbb{R}$ και $f(x)=(x-1)(e^{-x}-1),x\in \mathbb{R}.$

1. α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $\varphi$ έχει μοναδική πραγματική ρίζα $\rho$ .

β) Να δείξετε ότι ισχύει $\rho =\ln (2-\rho )$ και έπειτα ότι $0<\rho<1/2$ .

2. Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

3. Να αποδείξετε ότι

α) η συνάρτηση $F(x)=x-xe^{-x}-\dfrac{x^2}{2}$ είναι μια παράγουσα της .

β) $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}f(\eta \mu x)dx>\dfrac{e-2}{2e}.$

4. Αν για την παραγωγίσιμη και κυρτή στο $\mathbb{R}$ συνάρτηση ισχύει

, για κάθε $x\in [0,1]$ ,

να αποδείξετε ότι

α) υπάρχει $x_1\in (0,1)$ τέτοιο, ώστε και ${g}'(x_1 )>0$ .

β) $\lim_{x\rightarrow +\infty }g(x)=+\infty .$

5. Αν για τους πραγματικούς αριθμούς $\alpha, \beta$ ισχύει $\alpha <\rho<\beta$ ,

όπου $\rho$ η ρίζα της συνάρτησης $\varphi$ , και $f(\alpha )=f(\beta )$

να αποδείξετε ότι $\left | \alpha -\rho \right |<\left | \beta -\rho \right |.$

Καλημέρα

...ψάχνοντας τις δημοσιεύσεις βρήκα αυτή αναπάντητη ....και βγήκα μαζί της αλλά στο

5 ερώτημα τα χαλάσαμε λίγο...θα το κοιτάξω άλλη ώρα αν δεν δοθεί από κάποιον άλλον

ΛΥΣΗ

1.α) Είναι η συνάρτηση $\varphi (x)=(2-x){{e}^{-x}}-1={{e}^{-x}}(2-x-{{e}^{x}}),x\in \mathbb{R}$ και θεωρούμε την

$h(x)=2-x-{{e}^{x}},\,\,x\in R$ που συνεχής ως πράξεις συνεχών με h(0)=1>0

και

οπότε ισχύει h(0)h(1)<0

και σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano $\rho \in (0,1)$ με $h(\rho )=0$ .

Τώρα η

είναι παραγωγίσιμη με ${h}'(x)=-1-{{e}^{x}}<0,\,\,x\in \mathbb{R}$ άρα είναι γνήσια φθίνουσα οπότε '1-1'

και τότε

η ρίζα μοναδική που είναι τότε μοναδική και της $\varphi (x)={{e}^{-x}}h(x),\,\,x\in \mathbb{R}$ αφού ${{e}^{-x}}>0$

β) Ισχύει $2-\rho ={{e}^{\rho }}$ και επειδή $\rho <2\Leftrightarrow 2-\rho >0$ έχουμε $\rho =\ln (2-\rho )$ και επειδή

$h(\frac{1}{2})=2-\frac{1}{2}-{{e}^{\frac{1}{2}}}=\frac{3}{2}-\sqrt{e}=\frac{3-2\sqrt{e}}{2}<0$ και h(0)>0

το $0<\rho<1/2$

2. Είναι $f(x)=(x-1)(e^{-x}-1),x\in \mathbb{R}.$ παραγωγίσιμη με

${f}'(x)=({{e}^{-x}}-1)-(x-1){{e}^{-x}}=(2-x){{e}^{-x}}-1=\varphi (x)$ και σύμφωνα με τα προηγούμενα για

$x<\rho \Rightarrow \varphi (x)<\varphi (\rho )=0$ άρα η

γνήσια φθίνουσα στο $(-\infty ,\,\rho ]$ και επίσης

$x>\rho \Rightarrow \varphi (x)>\varphi (\rho )=0$ άρα η

γνήσια αύξουσα στο $[\rho ,\,+\infty )$ επομένως η

έχει ελάχιστο

το $f(\rho )=(\rho -1)({{e}^{-\rho }}-1)=(\rho -1)(\frac{1}{{{e}^{\rho }}}-1)=(\rho -1)(\frac{1}{2-\rho }-1)=\frac{{{(\rho -1)}^{2}}}{2-\rho }$

3. α) Είναι $F(x)=x-xe^{-x}-\dfrac{x^2}{2}$ παραγωγίσιμη με

${F}'(x)=1-{{e}^{-x}}+x{{e}^{-x}}-x=(x-1)({{e}^{-x}}-1)=f(x),\,\,x\in R$ οπότε είναι μία παράγουσα της

β) Είναι $F(1)=1-\frac{1}{e}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{e}=\frac{e-1}{2e},\,\,F(0)=0$ άρα θέλουμε να δείξουμε ότι

$\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f}(\eta \mu x)dx>F(1)-F(0)\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f}(\eta \mu x)dx>\int\limits_{0}^{1}{f}(x)dx$ ή ισοδύναμα

$\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f}(\eta \mu x)dx>F(1)-F(0)\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f}(\eta \mu x)dx>\int\limits_{0}^{1}{f}(x)dx$

Τώρα αν $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f}(\eta \mu x)\sigma \upsilon \nu xdx$ με $u=\eta \mu x,\,\,du=\sigma \upsilon \nu xdx,\,\,\,x=0\to u=0,\,\,\,x=\frac{\pi }{2}\to u=1$ γίνεται

$I=\int\limits_{0}^{1}{f}(u)du$ άρα θέλουμε να δείξουμε ότι $\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f}(\eta \mu x)dx>\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f}(\eta \mu x)\sigma \upsilon \nu xdx$ ή

$\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f}(\eta \mu x)(1-\sigma \upsilon \nu x)dx>0$ που ισχύει γιατί $1-\sigma \upsilon \nu x\ge 0$ και όχι πάντα

και

επιπλέον αφού $0\le \eta \mu x\le 1,\,\,x\in [0,\,\frac{\pi }{2}]$ είναι $f(\eta \mu x)\ge 0$ και όχι πάντα μηδέν

αφού είναι f(0)=f(1)=0

και για $0\le x\le \rho \Rightarrow f(0)\le f(x)\le f(\rho )$ και $\rho \le x\le 1\Rightarrow f(\rho )\ge f(x)\ge f(1)=0$

4. α) Αν υπάρχει $x_1\in (0,1)$ πού $g({{x}_{1}})=0$ τότε από f(x){g}'(x)>{f}'(x)g(x)

θα έχουμε ότι

$f({{x}_{1}}){g}'({{x}_{1}})>{f}'({{x}_{1}})g({{x}_{1}})\Rightarrow f({{x}_{1}}){g}'({{x}_{1}})>0$ και επειδή $f({{x}_{1}})>0$ θα είναι ${g}'({{x}_{1}})>0$

Αν τώρα $g(x)\ne 0,\,\,x\in (0,\,1)$ επειδή $f(0){g}'(0)>{f}'(0)g(0)\Rightarrow 0>{f}'(0)g(0)$ και {f}'(0)>0

είναι

και επιπλέον

$f(1){g}'(1)>{f}'(1)g(1)\Rightarrow 0>{f}'(1)g(1)$ και {f}'(1)<0

αναγκαία τότε g(1)>0

οπότε

και από θεώρημα Bolzano θα υπάρχει $x_1\in (0,1)$ τέτοιο, ώστε g(x_1 )=0

άτοπο συμβαίνει όπως πριν

δηλαδή υπάρχει τελικά υπάρχει $x_1\in (0,1)$ τέτοιο, ώστε g(x_1 )=0

και ${g}'(x_1 )>0$ .

β) Η εφαπτομένη στο $({{x}_{1}},g({{x}_{1}}))$ ή $({{x}_{1}},0)$ της

είναι

$y-0={g}'({{x}_{1}})(x-{{x}_{1}})\Leftrightarrow y={g}'({{x}_{1}})(x-{{x}_{1}})$ και επειδή

κυρτή ισχύει ότι

$g(x)\ge {g}'({{x}_{1}})(x-{{x}_{1}})$ και αφού $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{g}'({{x}_{1}})(x-{{x}_{1}})=+\infty$

επειδή ${g}'(x_1 )>0$ λόγω της ανισότητας θα είναι $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,g(x)=+\infty$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

#3

στην προηγουμένη άσκηση να κανω 2 παρατηρήσεις
το ερώτημα 2 με έναν καλό πίνακα μονοτοκίας καλύπτει τα 1α, 1β
στο ζητούμενο του 5 δεν χρειάζονται τα απολυτά (δεν εχω λυση)

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Για το 5)
Η συνάρτηση $f(x+\rho )-f(\rho-x ),x>0$
είναι αύξουσα ενω η
$f(x+\rho ),x>0$
είναι φθίνουσα.

ΘΕΜΑ

ΘΕΜΑ

Re: ΘΕΜΑ

Re: ΘΕΜΑ

Re: ΘΕΜΑ

Μέλη σε σύνδεση