ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

[socrates]

Το πρόβλημα 4 της Γ' Λυκείου υπάρχει στα:
https://artofproblemsolving.com/communi ... on_on_real
viewtopic.php?f=111&t=30639

Το πρόβλημα 4 της Β' Γυμνασίου (με διαφορετικά νούμερα):
http://artofproblemsolving.com/wiki/ind ... Problem_15

[Κατερινόπουλος Νικόλας]

Καλή επιτυχία σε όλους! Πού περίπου κυμάνθηκαν οι βάσεις;

Για Β' Γυμνασίου ξέρω ότι έπεσε γύρω στο και στην Γ' Γυμνασίου περίπου στο . Για Λύκειο, δεν ξέρω...

[achilleas]

ΘΕΜΑ 3 -Β ΛΥΚΕΙΟΥ (Διαγωνισμός ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ της ΕΜΕ, 2016-2017) Δίνεται τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο (με ) και τυχόν σημείο της πλευράς . Από το σημείο φέρουμε κάθετη στην ακτίνα , η οποία τέμνει την στο . Αν είναι το μέσο της και το μέσο της , να αποδείξετε ότι τα σημεία και είναι ομοκυκλικά, δηλαδή ανήκουν στον ίδιο κύκλο.


(Ακολουθεί μια κάπως διαφορετική λύση από αυτές που δημοσιεύθηκαν ήδη εδώ, εδώ, κι εδώ)


Λύση: Έστω το ίχνος της καθέτου από το στην ακτίνα . Από την ομοιότητα των ισοσκελών τριγώνων και προκύπτει ότι

,

και από την ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων και προκύπτει ότι

.

Από τις παραπάνω, έπεται άμεσα ότι

,

κι άρα τα σημεία και είναι ομοκυκλικά.

Αλλιώς (ίδιο σχήμα) (Ουσιαστικά είναι η "ίδια" λύση παραπάνω)

Το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο (αφού ), κι άρα

.

Ομοίως, το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο (αφού ) κι άρα

.

Το συμπέρασμα έπεται άμεσα, όπως στην αρχική μας λύση παραπάνω, αφού



Φιλικά,

Αχιλλέας