Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019

Soteris · #1

Πρόβλημα 1

(α) Αν $\displaystyle{x}$ είναι θετικός πραγματικός αριθμός, να αποδείξετε ότι:
$\displaystyle{\dfrac{x^{12}-1}{4}\geqslant \dfrac{x^3-1}{x}}$

(β) Αν $\displaystyle{a, b}$ είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί, να αποδείξετε ότι:
$\displaystyle{\dfrac{a^{12}+b^{12}}{4}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{a}\geqslant a^2+b^2+\dfrac{1}{2}}$

Πρόβλημα 2

Δίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο $\displaystyle{ABCD}$ , όπου $\displaystyle{AB>2BC}$ . Πάνω στην πλευρά του $\displaystyle{AB}$ παίρνουμε σημείο $\displaystyle{M}$ , τέτοιο ώστε $\displaystyle{AM=BC}$ και πάνω στην ημιευθεία $\displaystyle{CB}$ σημείο $\displaystyle{N}$ , τέτοιο ώστε $\displaystyle{CN=MB}$ . Από το σημείο $\displaystyle{A}$ φέρουμε παράλληλη προς την $\displaystyle{CM}$ , η οποία τέμνει την ευθεία $\displaystyle{DC}$ στο σημείο $\displaystyle{P}$ . Ονομάζουμε $\displaystyle{K}$ το σημείο τομής των ευθειών $\displaystyle{CM}$ και $\displaystyle{AN}$ . Να αποδείξετε ότι:

(α) $\displaystyle{AP=PN}$

(β) Τα σημεία $\displaystyle{A, K, M}$ και $\displaystyle{D}$ ανήκουν στον ίδιο κύκλο.

Πρόβλημα 3

Σε ένα τουρνουά καλαθόσφαιρας συμμετέχουν ομάδες μόνο από τη Λεμεσό και τη Λευκωσία. Οι ομάδες της Λευκωσίας είναι $\displaystyle{9}$ περισσότερες από αυτές της Λεμεσού. Κάθε δύο ομάδες συναντήθηκαν για παιχνίδι μεταξύ τους ακριβώς μια φορά. Η νικήτρια ομάδα πήρε $\displaystyle{1}$ πόντο, η χαμένη ομάδα $\displaystyle{0}$ πόντους, ενώ δεν υπήρξαν ισοπαλίες. Όλες οι ομάδες από τη Λευκωσία μαζί συγκέντρωσαν $\displaystyle{9}$ φορές περισσότερους πόντους από όλες τις ομάδες της Λεμεσού μαζί. Να βρείτε ποιος είναι ο μέγιστος δυνατός αριθμός των νικών της πιο επιτυχημένης ομάδας από τη Λεμεσό.

Πρόβλημα 4

Να βρεθούν $\displaystyle{10}$ διαφορετικοί πρώτοι αριθμοί, οι οποίοι να διαιρούν τον αριθμό $\displaystyle{A=11111^{60}-10009^{60}}$ .

#2

Soteris έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 20, 2019 12:25 pm
Πρόβλημα 4[/color]

Να βρεθούν $\displaystyle{10}$ διαφορετικοί πρώτοι αριθμοί, οι οποίοι να διαιρούν τον αριθμό $\displaystyle{A=11111^{60}-10009^{60}}$ .

Εύκολα βλέπουμε ότι το $a^{60}-b^{60}$ έχει παράγοντα το a^6-b^6=(a^2-b^2)(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)

. Ο πρώτος παράγοντας δείχνει ότι
ο 11111^2-10009^2 = 23274240

διαιρεί τον δοθέντα. Με λίγο χαρτί και μολύβι (και κριτήρια διαιρετότητας) εύκολα βρίσκουμε τους πρώτους παράγοντες 2, 3, 5, 11, 19, 29

. Ο τρίτος μας δίνει τον $a^2-ab+b^2= 11111^2-11111\cdot 10009 + 10009^2= 112424403$ από όπου τσιμπάμε τους 7, 13, 43, 61

.

#3

Soteris έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 20, 2019 12:25 pm

Πρόβλημα 2

Δίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο $\displaystyle{ABCD}$ , όπου $\displaystyle{AB>2BC}$ . Πάνω στην πλευρά του $\displaystyle{AB}$ παίρνουμε σημείο $\displaystyle{M}$ , τέτοιο ώστε $\displaystyle{AM=BC}$ και πάνω στην ημιευθεία $\displaystyle{CB}$ σημείο $\displaystyle{N}$ , τέτοιο ώστε $\displaystyle{CN=MB}$ . Από το σημείο $\displaystyle{A}$ φέρουμε παράλληλη προς την $\displaystyle{CM}$ , η οποία τέμνει την ευθεία $\displaystyle{DC}$ στο σημείο $\displaystyle{P}$ . Ονομάζουμε $\displaystyle{K}$ το σημείο τομής των ευθειών $\displaystyle{CM}$ και $\displaystyle{AN}$ . Να αποδείξετε ότι:

(α) $\displaystyle{AP=PN}$

(β) Τα σημεία $\displaystyle{A, K, M}$ και $\displaystyle{D}$ ανήκουν στον ίδιο κύκλο.

: Παγκύπριος 2019 (JBMO).png (19.66 KiB) Προβλήθηκε 2281 φορές

(α) Το

είναι παραλληλόγραμμο, άρα AM=PC

και

Οπότε τα ορθογώνια τρίγωνα ADP, CPN

είναι ίσα και AP=PN.

(β) Από τη ισότητα των τριγώνων προκύπτει ότι οι γωνίες $D\widehat PA, N\widehat PC$ είναι συμπληρωματικές, άρα $A\widehat PN=90^\circ,$ οπότε

το τρίγωνο APN

είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, δηλαδή $P\widehat AK=45^\circ=N\widehat KC$ (ως εντός εναλλάξ). Αλλά και το ADM

είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, οπότε $A\widehat DM=45^\circ=N\widehat KC$ που σημαίνει ότι το τετράπλευρο DAKM

είναι εγγράψιμο.

Prødigy · #4

Soteris έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 20, 2019 12:25 pm
Πρόβλημα 1

(α) Αν $\displaystyle{x}$ είναι θετικός πραγματικός αριθμός, να αποδείξετε ότι:
$\displaystyle{\dfrac{x^{12}-1}{4}\geqslant \dfrac{x^3-1}{x}}$

(β) Αν $\displaystyle{a, b}$ είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί, να αποδείξετε ότι:
$\displaystyle{\dfrac{a^{12}+b^{12}}{4}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{a}\geqslant a^2+b^2+\dfrac{1}{2}}$

Καλησπέρα.

i) $\frac{(x^3-1)(x^3+1)(x^6+1)}{4}\geq \frac{x^3-1}{x}\Leftrightarrow x^1^0+x^7+x^4+x\geq 4\Leftrightarrow 4\sqrt[4]x^2^2\geq 4\Leftrightarrow x\geq 1$ που αληθεύει αφού προφανώς η αρχική σχέση δεν ισχύει για x<1

Η ισότητα ισχύει για x=1

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #5

Soteris έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 20, 2019 12:25 pm
Πρόβλημα 1

(α) Αν $\displaystyle{x}$ είναι θετικός πραγματικός αριθμός, να αποδείξετε ότι:
$\displaystyle{\dfrac{x^{12}-1}{4}\geqslant \dfrac{x^3-1}{x}}$

(β) Αν $\displaystyle{a, b}$ είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί, να αποδείξετε ότι:
$\displaystyle{\dfrac{a^{12}+b^{12}}{4}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{a}\geqslant a^2+b^2+\dfrac{1}{2}}$

α)

$\dfrac{x^{12}-1}{4}=\dfrac{\left ( x^3-1 \right )\left ( x^3+1 \right )\left ( x^6+1 \right )}{4}$

Για x>1

αρκεί

που ισχύει ,όμοια και για x<1

H ισότητα είναι για x=1

β)

$\dfrac{a^{12}+b^{12}}{4}+\dfrac{a+b}{ab}\geq a^2+b^2+\dfrac{1}{2}$

Από α αρκεί $\dfrac{a^3-1}{a}+\dfrac{b^3-1}{b}+\dfrac{a+b}{ab}\geq a^2+b^2\Leftrightarrow a^3b-b+b^3a-a+a+b\geq a^3b+b^3a$ που ισχύει.

Al.Koutsouridis · #6

Soteris έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 20, 2019 12:25 pm
Πρόβλημα 1

(α) Αν $\displaystyle{x}$ είναι θετικός πραγματικός αριθμός, να αποδείξετε ότι:
$\displaystyle{\dfrac{x^{12}-1}{4}\geqslant \dfrac{x^3-1}{x}}$

Ας δούμε άλλη μια λύση σε αυτό το πρόβλημα, εκτός πνεύματος "junior" μεν, χρήσιμη δε σε άλλα προβλήματα.

Η ανισότητα γράφεται ισοδύναμα

$\displaystyle{\dfrac{x^{12}-1}{4}\geqslant \dfrac{x^3-1}{x}} \Leftrightarrow x^{13}-4x^3-x+4 \geq 0$

Εξετάζουμε το πολυώνυμο $\displaystyle P(x) = x^{13}-4x^3-x+4$ του οποίου οι συντελεστές 1, -4, -1, 4

, κατά φθίνουσα σειρά δυνάμεων, αλλάζουν πρόσημο δυο φορές. Άρα από το κανόνα των προσήμων του Descartes το P(x)

θα έχει το πολύ δυο θετικές ρίζες

Παρατηρούμε ότι το

είναι ρίζα του P(x)

. Επίσης, $P^{\prime}(x) = 13x^{12}-12x^2-1$ και $P^{\prime}(1)=0$ . Επόμενως το

είναι διπλή ρίζα του πολυωνύμου. Οπότε σύμφωνα με το παραπάνω κανόνα άλλες θετικές ρίζες δεν υπάρχουν.

Διαλέγοντας κάποια θετική τιμή, π.χ. το

παρατηρούμε ότι P(2) > 0

και εφόσον δεν υπάρχουν άλλες ρίζες πέραν του

θα διατηρείται το πρόσημο. Τελικά έχουμε P(x) > 0

, με την ισότητα μόνο για x=1

.

#7

Prodigy, εύγε που ασχολήθηκες αλλά κάτι δεν καταλαβαίνω εδώ:

Prødigy έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 20, 2019 6:26 pm

i) $\frac{(x^3-1)(x^3+1)(x^6+1)}{4}\geq \frac{x^3-1}{x}\Leftrightarrow (x^3+1)^2 x\geq 4$

Μπορείς να εξηγήσεις; Επίσης δεν καταλαβαίνω τον συλλογισμό

Prødigy έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 20, 2019 6:26 pm

Άρα $x^4-1\geq 0\Leftrightarrow (x-1)(x+1)(x^2+1)\geq 0$ που αληθεύει αφού προφανώς η αρχική σχέση δεν ισχύει για

Αν δεν ισχύει, τότε τι πάμε να αποδείξουμε;

#8

Για την 4 μπορούμε επίσης να χρησιμοποιήσουμε ότι ο $11111-10009 = 2 \cdot 19 \cdot 29$ διαιρεί τον

. Επίσης από μικρό θεώρημα Fermat έχουμε ότι $11111^{60} \equiv 1 \bmod p$ και $10009^{60} \equiv 1 \bmod p$ για p=3,5,7,11,13,31,61

. (Πρέπει να ελεγχθεί ότι οι 10009

και

δεν διαιρούνται με κανένα από αυτούς τους πρώτους.)

Η διαφορά μου με την απάντηση του Μιχάλη είναι ότι έχω τον

αντί του

.

#9

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 20, 2019 7:35 pm

Soteris έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 20, 2019 12:25 pm
Πρόβλημα 1

(α) Αν $\displaystyle{x}$ είναι θετικός πραγματικός αριθμός, να αποδείξετε ότι:
$\displaystyle{\dfrac{x^{12}-1}{4}\geqslant \dfrac{x^3-1}{x}}$

Ας δούμε άλλη μια λύση σε αυτό το πρόβλημα, εκτός πνεύματος "junior" μεν, χρήσιμη δε σε άλλα προβλήματα.

Η ανισότητα γράφεται ισοδύναμα

$\displaystyle{\dfrac{x^{12}-1}{4}\geqslant \dfrac{x^3-1}{x}} \Leftrightarrow x^{13}-4x^3-x+4 \geq 0$

Το οποίο θα μπορούσαμε να παραγοντοποιήσουμε ως:

$\displaystyle (x-1)^2(x^{11} + 2x^{10}+3x^{9} + 4x^8 + 5x^7+6x^6 + 7x^5+8x^4+9x^3+10x^2+7x+4)$

που προφανώς είναι μη αρνητικό.

Ορέστης Λιγνός · #10

Soteris έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 20, 2019 12:25 pm

Πρόβλημα 3

Σε ένα τουρνουά καλαθόσφαιρας συμμετέχουν ομάδες μόνο από τη Λεμεσό και τη Λευκωσία. Οι ομάδες της Λευκωσίας είναι $\displaystyle{9}$ περισσότερες από αυτές της Λεμεσού. Κάθε δύο ομάδες συναντήθηκαν για παιχνίδι μεταξύ τους ακριβώς μια φορά. Η νικήτρια ομάδα πήρε $\displaystyle{1}$ πόντο, η χαμένη ομάδα $\displaystyle{0}$ πόντους, ενώ δεν υπήρξαν ισοπαλίες. Όλες οι ομάδες από τη Λευκωσία μαζί συγκέντρωσαν $\displaystyle{9}$ φορές περισσότερους πόντους από όλες τις ομάδες της Λεμεσού μαζί. Να βρείτε ποιος είναι ο μέγιστος δυνατός αριθμός των νικών της πιο επιτυχημένης ομάδας από τη Λεμεσό.

Έστω

οι ομάδες της Λεμεσού, x+9

της Λευκωσίας. Έστω ακόμη,

οι πόντοι των ομάδων της Λεμεσού, και

οι πόντοι των ομάδων της Λευκωσίας.

Συνολικά, παίχτηκαν $\displaystyle \binom{2x+9}{2}=2x^2+17x+36$ παιχνίδια, οπότε οι συνολικοί πόντοι είναι

.

Συνεπώς, $10m=2x^2+17x+36 \Rightarrow 10 \mid (2x^2+17x+36) \Rightarrow 10 \mid 2x^2+7x+6 \Rightarrow 10 \mid (x+2)(2x+3)$ .

Ο 2x+3

είναι περιττός, οπότε $x+2 \equiv 0 \pmod 2 \Rightarrow x=2m$ , οπότε $5 \mid (m+1)(4m+3)$ .

Επομένως, $m \equiv 3,4 \pmod 5$ , και άρα $x \equiv 6,8 \pmod {10}$ .

Στα μεταξύ τους παιχνίδια, οι ομάδες της Λεμεσού συγκέντρωσαν $\displaystyle \binom{x}{2}=\dfrac{x^2-x}{2}$ πόντους, άρα $m \geqslant \dfrac{x^2-x}{2} \Rightarrow \dfrac{2x^2+17x+36}{10} \geqslant \dfrac{x^2-x}{2} \Rightarrow 6x^2-44x-72 \leq 0 \Rightarrow x \leqslant 8$ .

Όμως, $x \equiv 6,8 \pmod {10} \Rightarrow x \in \{6, 8 \}$ .

Αν x=6

, τότε οι ομάδες της Λευκωσίας είναι

, και συγκέντρωσαν 189

πόντους, ενώ της Λεμεσού είναι

, συγκεντρώνοντας

πόντους.

Στα μεταξύ τους παιχνίδια, οι ομάδες της Λεμεσού συγκέντρωσαν $\displaystyle \binom{6}{2}=15$ πόντους, οπότε στα παιχνίδια με ομάδες της Λευκωσίας, συγκέντρωσαν

πόντους.

Προφανώς, η πιο επιτυχημένη ομάδα της Λεμεσού, είναι η ομάδα με τις πιο πολλές νίκες (αφού δεν υπάρχει ισοπαλία, και η ήττα δεν δίνει πόντο), οπότε ο μέγιστος αριθμός νικών που μπορεί να επιτύχει ομάδα της Λεμεσού είναι 6+5=11

(αν η συγκεκριμένη ομάδα νικήσει τις

ομάδες της Λευκωσίας και όλες τις ομάδες της Λεμεσού).

Αν x=8

, όμοια παίρνουμε σαν μέγιστο αριθμό νικών τις

.

Τελικά, η απάντηση είναι

νίκες, και είναι εύκολο να κατασκευαστεί κατάλληλο παράδειγμα.

Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019

Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019

Re: Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019

Re: Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019

Re: Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019

Re: Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019

Re: Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019

Re: Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019

Re: Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019

Re: Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019

Re: Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019

Μέλη σε σύνδεση