ΘΑΛΗΣ 2010 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

parmenides51 · #1

1. Αν για τους πραγματικούς αριθμούς $\displaystyle{x, y, z}$ ισχύουν οι ισότητες $\displaystyle{ \begin{matrix} \sqrt{x^2-y-z}=x-2 \\ \sqrt{y^2-z-x}=y-2 \\ \sqrt{z^2-x-y}=z-2 \end{matrix}}$

να αποδείξετε ότι $\displaystyle{x + y + z = 6}$ και να προσδιορίσετε τους αριθμούς $\displaystyle{x, y, z}$ .

2. Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ και οι κύκλοι $\displaystyle{c_1 (A,AB)}$ (με κέντρο το σημείο $\displaystyle{A}$ και ακτίνα $\displaystyle{R_1=AB}$ ) και $\displaystyle{c_2 (A,A\Gamma )}$ (με κέντρο το σημείο $\displaystyle{A}$ και ακτίνα $\displaystyle{R_2=A\Gamma}$ ). Ο κύκλος $\displaystyle{c_1 (A,AB)}$ τέμνει την ευθεία $\displaystyle{B\Gamma}$ στο σημείο $\displaystyle{E}$ και την ευθεία $\displaystyle{AB}$ στο σημείο $\displaystyle{\Delta}$ . Ο κύκλος $\displaystyle{c_2 (A,A\Gamma )}$ τέμνει την ευθεία $\displaystyle{B\Gamma}$ στο σημείο $\displaystyle{K}$ και την ευθεία $\displaystyle{A\Gamma}$ στο σημείο $\displaystyle{N}$ .
α. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο $\displaystyle{\Delta EKN}$ είναι ορθογώνιο.
β. Αν το τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ είναι ισοσκελές με $\displaystyle{\Gamma A= \Gamma B}$ και $\displaystyle{\widehat{\Gamma} = 30^o}$ , να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο $\displaystyle{\Delta EKN}$ είναι τετράγωνο.

3. Αν για τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς $\displaystyle{x, y}$ ισχύει ότι $\displaystyle{x + y = 4}$ , να αποδείξετε ότι : $\displaystyle{\frac{(2x+1)^2}{x}+\frac{(2y+1)^2}{y}\ge 25}$ .
Πότε ισχύει η ισότητα;

4. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma }$ ( $\displaystyle{\widehat{A}= 90^o}$ ) και έστω $\displaystyle{E}$ το μέσο της διχοτόμου $\displaystyle{B\Delta}$ .
Η εφαπτομένη του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου $\displaystyle{AEB}$ στο σημείο $\displaystyle{A}$ τέμνει την πλευρά $\displaystyle{B\Gamma}$ στο σημείο $\displaystyle{M}$ .
Να αποδείξετε ότι η ευθεία $\displaystyle{ME}$ και η διχοτόμος της γωνίας $\displaystyle{\widehat{\Gamma}}$ , τέμνονται πάνω στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma }$ .

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε:1. Αν για τους πραγματικούς αριθμούς $\displaystyle{x, y, z}$ ισχύουν οι ισότητες $\displaystyle{ \begin{matrix} \sqrt{x^2-y-z}=x-2 \\ \sqrt{y^2-z-x}=y-2 \\ \sqrt{z^2-x-y}=z-2 \end{matrix}}$

να αποδείξετε ότι $\displaystyle{x + y + z = 6}$ και να προσδιορίσετε τους αριθμούς $\displaystyle{x, y, z}$ .

εδώ

parmenides51 έγραψε:3. Αν για τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς $\displaystyle{x, y}$ ισχύει ότι $\displaystyle{x + y = 4}$ , να αποδείξετε ότι : $\displaystyle{\frac{(2x+1)^2}{x}+\frac{(2y+1)^2}{y}\ge 25}$ .
Πότε ισχύει η ισότητα;

υποδείξεις εδώ κι εδώ

parmenides51 έγραψε:4. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma }$ ( $\displaystyle{\widehat{A}= 90^o}$ ) και έστω $\displaystyle{E}$ το μέσο της διχοτόμου $\displaystyle{B\Delta}$ .
Η εφαπτομένη του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου $\displaystyle{AEB}$ στο σημείο $\displaystyle{A}$ τέμνει την πλευρά $\displaystyle{B\Gamma}$ στο σημείο $\displaystyle{M}$ .
Να αποδείξετε ότι η ευθεία $\displaystyle{ME}$ και η διχοτόμος της γωνίας $\displaystyle{\widehat{\Gamma}}$ , τέμνονται πάνω στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma }$ .

ισχυρές υποδείξεις εδώ κι εδώ (Θεώρημα Νότιου Πόλου)

hlkampel · #3

parmenides51 έγραψε:2. Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ και οι κύκλοι $\displaystyle{c_1 (A,AB)}$ (με κέντρο το σημείο $\displaystyle{A}$ και ακτίνα $\displaystyle{R_1=AB}$ ) και $\displaystyle{c_2 (A,A\Gamma )}$ (με κέντρο το σημείο $\displaystyle{A}$ και ακτίνα $\displaystyle{R_2=A\Gamma}$ ). Ο κύκλος $\displaystyle{c_1 (A,AB)}$ τέμνει την ευθεία $\displaystyle{B\Gamma}$ στο σημείο $\displaystyle{E}$ και την ευθεία $\displaystyle{AB}$ στο σημείο $\displaystyle{\Delta}$ . Ο κύκλος $\displaystyle{c_2 (A,A\Gamma )}$ τέμνει την ευθεία $\displaystyle{B\Gamma}$ στο σημείο $\displaystyle{K}$ και την ευθεία $\displaystyle{A\Gamma}$ στο σημείο $\displaystyle{N}$ .
α. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο $\displaystyle{\Delta EKN}$ είναι ορθογώνιο.
β. Αν το τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ είναι ισοσκελές με $\displaystyle{\Gamma A= \Gamma B}$ και $\displaystyle{\widehat{\Gamma} = 30^o}$ , να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο $\displaystyle{\Delta EKN}$ είναι τετράγωνο.

α. Είναι $\widehat{\Delta {\rm E}{\rm B}} = \widehat{{\rm N}{\rm K}\Gamma } = 90^\circ$ (1) ως εγγεγραμμένες στα ημικύκλια των δύο κύκλων με διαμέτρους $\Delta {\rm B}$ και $\Gamma {\rm N}$ αντίστοιχα.

Έτσι ${\rm K}{\rm N}//\Delta {\rm E}$ (2) ως κάθετες στην ευθεία ${\rm B}\Gamma$ .

Τα τρίγωνα ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ και $\Delta {\rm A}{\rm N}$ είναι ίσα γιατί ${\rm A}{\rm B} = {\rm A}\Delta = {R_1}$ , ${\rm A}\Gamma = {\rm A}{\rm N} = {R_2}$ και

$\widehat{{\rm B}{\rm A}\Gamma } = \widehat{\Delta {\rm A}{\rm N}}$ ως κατακορυφήν. Έτσι $\widehat{{\rm B}\Gamma {\rm A}} = \widehat{{\rm A}{\rm N}\Delta }$ οπότε $\Gamma {\rm B}//{\rm N}\Delta \Leftrightarrow {\rm E}{\rm K}//{\rm N}\Delta$ (3) γιατί σχηματίζονται εντός εναλλάξ γωνίες ίσες.

Από τις σχέσεις (1), (2) και (3) συμπεραίνουμε ότι το $\Delta {\rm E}{\rm K}{\rm N}$ είναι ορθογώνιο.

β. Αν $\Gamma {\rm A} = \Gamma {\rm B}$ (4) και $\widehat\Gamma = 30^\circ$ , τότε από το ορθ. τρίγωνο $\Gamma {\rm K}{\rm N}$ είναι ${\rm K}{\rm N} = \frac{{\Gamma {\rm N}}}{2} \Rightarrow {\rm K}{\rm N} = \Gamma {\rm A}\mathop \Rightarrow \limits^{\Gamma {\rm A} = \Gamma {\rm B}} {\rm K}{\rm N} = \Gamma {\rm B}$ (5)

Από την ισότητα των τριγώνων ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ και $\Delta {\rm A}{\rm N}$ έχουμε ότι ${\rm N}\Delta = \Gamma {\rm A}\mathop \Rightarrow \limits^{\Gamma {\rm A} = \Gamma {\rm B}} {\rm N}\Delta = \Gamma {\rm B}$ (6)

Από τις σχέσεις (5) και (6) έχουμε ότι ${\rm K}{\rm N} = {\rm N}\Delta$ δηλαδή το ορθογώνιο $\Delta {\rm E}{\rm K}{\rm N}$ είναι τετράγωνο αφού έχει δύο διαδοχικές πλευρές ίσες.

#4

parmenides51 έγραψε: Σάβ Δεκ 01, 2012 5:22 am
3. Αν για τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς $\displaystyle{x, y}$ ισχύει ότι $\displaystyle{x + y = 4}$ , να αποδείξετε ότι : $\displaystyle{\frac{(2x+1)^2}{x}+\frac{(2y+1)^2}{y}\ge 25}$ .
Πότε ισχύει η ισότητα;

Καλησπέρα! Τα παρακάτω τα είχα ετοιμάσει για τους μαθητές του σχολείου μας πριν λίγους μήνες. Επισυνάπτω και το σχετικό φυλλάδιο.

Βέβαια, η μέθοδος της εφαπτομένης έχει χρησιμοποιηθεί πολλές φορές στο forum. Θεωρούμε ότι τα σχόλια είναι εξίσου σημαντικά για έναν μαθητή.

************************************************************************
Λύση Ισχύει

$\displaystyle \dfrac{(2x+1)^2}{x}\geq \frac{15}{4}x+5, (1)$

για κάθε x>0

με την ισότητα να αληθεύει αν και μόνο αν x=2

. Πράγματι, πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη της παραπάνω με 4x>0

και αναπτύσσοντας το τετράγωνο στα αριστερά, έχουμε ισοδύναμα

$\displaystyle 4(4x^2+4x+1)\geq 15x^2+20x\iff x^2-4x+4\geq 0\iff (x-2)^2\geq 0,$

που αληθεύει για κάθε x>0

με την ισότητα να αληθεύει αν και μόνο αν x=2

.

Έτσι

$\begin{aligned} \dfrac{(2x+1)^2}{x}+\dfrac{(2y+1)^2}{y}&\geq \left( \frac{15}{4}x+5\right)+ \left( \frac{15}{4}y+5\right)\\ &=\frac{15}{4}(x+y)+10\\ &=\frac{15}{4}\cdot 4+10\\ &=25, \end{aligned}$
με την ισότητα να αληθεύει αν και μόνο αν x=y=2

.

Σχόλια

(α) Για να βρούμε την παραπάνω ανισότητα (1) χρησιμοποιήσαμε την μέθοδο της εφαπομένης. Θεωρήσαμε τη συνάρτηση

με

$\displaystyle f(x)=\dfrac{(2x+1)^2}{x}=4x+4+\frac{1}{x},$

για x>0

. Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της

στο σημείο με x=2

(το σημείο στο οποίο ισχύει η ισότητα της ανισότητας που καλούμαστε να αποδείξουμε), έχει εξίσωση

$\displaystyle y-f(2)=f'(2)(x-2).$

Είναι $f(2)=\frac{25}{4}$ , και $f'(x)=4-\frac{1}{x^2}$ , οπότε $f'(2)=\frac{15}{4}.$ Έτσι η εξίσωση γίνεται

$\displaystyle y-\frac{25}{4}=\frac{15}{4}(x-2)\iff y=\frac{15}{4}x+5.$

Υποψιαζόμαστε, λοιπόν, ότι η γραφική παράσταση της

θα είναι *πάνω* από την εφαπτομένη της και έτσι παίρνουμε την (1), την οποία αποδείξαμε στοιχειωδώς. Δείτε και το παρακάτω συνημμένο σχήμα:

(β) Πως θα μπορούσαμε να επινοήσουμε την (1) χωρίς παραγώγους;

Σκεφτόμαστε ότι ψάχνουμε μια ανισότητα της μορφής

$\displaystyle \dfrac{(2x+1)^2}{x}\geq mx+k\overset{x>0}{\iff} (4-m)x^2+(4-k)x+1\geq 0.$

η οποία να ισχύει ως ισότητα για x=2

.

Αρκεί το τριώνυμο (4-m)x^2+(4-k)x+1

να έχει διπλή ρίζα το x=2

. Τότε

κι αφού $\Delta=0$ , θα είναι και k^2-8k+4m=0

. Λύνοντας το σύστημα

$\displaystyle \begin{cases} 2k+4m=25,\\ k^2-8k+4m=0\\ \end{cases}$

βρίσκουμε εύκολα k=5

και

.

Φιλικά,

Αχιλλέας

#5

parmenides51 έγραψε: Σάβ Δεκ 01, 2012 5:22 am ...
3. Αν για τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς $\displaystyle{x, y}$ ισχύει ότι $\displaystyle{x + y = 4}$ , να αποδείξετε ότι : $\displaystyle{\frac{(2x+1)^2}{x}+\frac{(2y+1)^2}{y}\ge 25}$ .
Πότε ισχύει η ισότητα;
...

Καλησπέρα σας,

Σε σημερινό μάθημα προετοιμασίας με μαθητές/τριες της Β Λυκείου, όλοι πρότειναν να κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών.

Πράγματι, βγαίνει κι έτσι:

Πολλαπλασιάζοντας με xy>0

, η ανισότητα γράφεται ισοδύναμα

$(2x+1)^2y+(2y+1)^2\geq 25xy$ .

Αναπτύσσοντας τα τετράγωνα, κάνοντας επιμεριστική και αφαιρώντας το 25xy

από τα δύο μέλη παίρνουμε

$4x^2y+4xy^2+x+y-17xy\geq 0$ .

Το αριστερό μέλος της τελευταίας, με παραγοντοποίηση και λαμβάνοντας υπόψιν ότι x+y=4

γράφεται

$x+y+xy(4(x+y)-17)=4-xy=4-x(4-x)=x^2-4x+4=(x-2)^2\geq 0$ ,

που ισχύει για κάθε πραγματικό αριθμό

, με την ισότητα να αληθεύει αν και μόνο αν x=2

.

Συνεπώς, η αρχική ανισότητα αληθεύει για όλα τα $x,y\in \mathbb{R}$ , με την ισότητα να αληθεύει αν και μόνο αν x=y=2

.

Φιλικά,

Αχιλλέας

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #6

Bέβαια η προς απόδειξη ανισότητα είναι κλασσική περίπτωση της C-S στην μορφή του Εngel, αλλά αφού τα παιδιά ήθελαν απαλοιφή παρανομαστών, καλά έκανες Αχιλλέα και τους έκανες το χατήρι...
Όταν διδάσκεις σε τέτοιους είδους μαθήματα πρέπει να ακούς τα παιδιά όχι μία αλλά δύο και τρεις φορές...

ΘΑΛΗΣ 2010 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΑΛΗΣ 2010 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2010 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2010 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2010 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2010 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2010 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση