Ελάχιστο θετικό

#1

Να αποδείξετε ότι:
(1) Αν

περιττός, τότε $\displaystyle{a^2}$ περιττός
(2) Αν

ακέραιος και

θετικός ακέραιος, τότε:
Αν $\displaystyle{a^n}$ άρτιος τότε και $\displaystyle{a}$ άρτιος και αν $\displaystyle{a^n}$ περιττός, τότε και $\displaystyle{a}$ περιττός.
(3) Αν $\displaystyle{a , b}$ ακέραιοι και $\displaystyle{n}$ θετικός ακέραιος και αν οι αριθμοί $\displaystyle{a^n +2}$ , $\displaystyle{b^n +3}$ είναι άρτιοι, να βρεθεί η ελάχιστη θετική
τιμή της παράστασης $\displaystyle{A = 7a - 6b}$

(Για διαγωνισμό ΕΜΕ Γ Γυμνασίου - Α Λυκείου)

gb1234 · #2

Καλησπέρα!

(1) Αφού

περιττός τότε θα γράφεται στη μορφή $a=2k+1, k \in \mathbb{Z}$
Επομένως, a^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1=4(k^2+k)+1=2(2k^2+2k)+1=2l+1

όπου

Άρα, ο

περιττός, όπως θέλαμε

(2) Εφόσον a^n

: άρτιος, τότε 2|a^n

και αφού

: πρώτος θα έχω 2|a

ή

ή...

άρα συμπεραίνουμε ότι 2|a

, οπότε

: άρτιος.
Έστω προς άτοπο ότι a^n

: περιττός και

: άρτιος. Τότε $a=2k, k \in \mathbb{Z}$ και $a^n=(2k)^n=2^n\cdot k^n=2(2^{n-1}\cdot \frac{k^n}{2})=2w$ , όπου $w=2^{n-1}\cdot \frac{k^n}{2}$ , οπότε a^n

: άρτιος, άτοπo.
Συνεπώς

: περιττός

(3) Αφού a^n+2

: άρτιος, θα πρέπει a^n

: άρτιος, οπότε από (2) και

: άρτιος
Αφού b^n+3

: άρτιος, θα πρέπει b^n

: περιττός, οπότε από (2) και

: περιττός
Επομένως, είναι $a=2k, k \in \mathbb{Z}$ και $b=2l+1, l \in \mathbb{Z}$
Άρα, $A=7a-6b=14k-12l-6=2(7k-6l-3)\geq 2$ με την ισότητα για $7k-6l-3=1\Leftrightarrow 7k-6l=4$ που έχει λύση αφού (7,6)=1|4

Τελικά $A_{min}=2$

Κυριάκος Τσουρέκας · #3

gb1234 έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 24, 2022 8:17 pm
Καλησπέρα!

(1) Αφού περιττός τότε θα γράφεται στη μορφή $a=2k+1, k \in \mathbb{Z}$
Επομένως, όπου
Άρα, ο περιττός, όπως θέλαμε

(2) Εφόσον : άρτιος, τότε και αφού : πρώτος θα έχω ή ή ή... άρα συμπεραίνουμε ότι , οπότε : άρτιος.
Έστω προς άτοπο ότι : περιττός και : άρτιος. Τότε $a=2k, k \in \mathbb{Z}$ και $a^n=(2k)^n=2^n\cdot k^n=2(2^{n-1}\cdot \frac{k^n}{2})=2w$ , όπου $w=2^{n-1}\cdot \frac{k^n}{2}$ , οπότε : άρτιος, άτοπo.
Συνεπώς : περιττός

(3) Αφού : άρτιος, θα πρέπει : άρτιος, οπότε από (2) και : άρτιος
Αφού : άρτιος, θα πρέπει : περιττός, οπότε από (2) και : περιττός
Επομένως, είναι $a=2k, k \in \mathbb{Z}$ και $b=2l+1, l \in \mathbb{Z}$
Άρα, $A=7a-6b=14k-12l-6=2(7k-6l-3)\geq 2$ με την ισότητα για $7k-6l-3=1\Leftrightarrow 7k-6l=4$ που έχει λύση αφού
Τελικά $A_{min}=2$

Η οποία είναι k=8

Ελάχιστο θετικό

Ελάχιστο θετικό

Re: Ελάχιστο θετικό

Re: Ελάχιστο θετικό

Μέλη σε σύνδεση