ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2023

Marioskam · #81

Μπορεί η ερώτησή μου να είναι ανόητη αλλά μόνο σε εμένα δεν μου εμφανίζει ως λινκ τα αποτελέσματα?

Kavousianos Ioannis · #82

Όχι, δεν γίνεται να τα δούμε αυτήν την στιγμή διότι κάνουν κάποιες διορθώσεις, όπως διορθώνουν τις ηλικίες όπως παιδιά που είναι Α και τα έχουν βάλει για την Β.Σύντομα θα είναι πάλι διαθέσιμα πιστεύω...

ως τότε συνεχίζουμε το refresh page...

glinos05 · #83

Καλησπέρα, γνωρίζουμε πότε και αν θα γίνει ο προκριματικός?

Τσιαλας Νικολαος · #84

Καλησπέρα! Ο προκριματικός γίνεται πάντα το Σάββατο πριν το μεγάλο Σάββατο.. Δηλαδή φέτος είναι στις 8 Απρίλη! Φέτος όμως υπάρχουν κάποια σοβαρά "τεχνικά" προβλήματα. Κατά 99% θα διεξαχθούν εκείνο το ΣΚ οι εθνικές εκλογές! Ακόμα όμως και να μην γίνουν τότε υπάρχει και άλλο πρόβλημα. Τότε έχει ήδη ανακοινωθεί και η διεξαγωγή της τελικής φάσης Πληροφορικής στην οποία συμμετέχουν τουλάχιστον 5 παιδιά που ξέρω με μετάλλιο και στον Αρχιμήδη! Μετά το Πάσχα δεν γίνεται να μεταφερθεί νομίζω.. Όποτε πρέπει να έρθει πιο νωρίς.. Τα ΣΚ 2 Απρίλη και 25 Μάρτη παλι δεν γίνεται, όπως και πιθανόν ούτε και 18 Μάρτη γιατί τότε είναι ο Πανελλήνιος διαγωνισμός μαθηματικών γρίφων και λογικής. Λίγο μπλέξιμο η κατάσταση

fogsteel · #85

Για το πρώτο :

Έστω $\frac{xyz+1}{x+1}= \frac{yzw+1}{y+1}= \frac{zwx+1}{z+1}= \frac{wxy+1}{w +1} = k$ , για κάποιο k > 0

$xyz + 1 =kx + k \Rightarrow xyzw = w(kx + k - 1)$
Ομοίως, λάβαμε ότι wf(x) = xf(y) = yf(z) = zf(w) = xyzw

, με

Σαφώς

και η

είναι γνησίως αύξουσα.

Ας υποθέσουμε χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι $x \geq z \Rightarrow w \geq y$ , αφού $xf(y) = zf(w) \Rightarrow f(y) \leq f(w) \Rightarrow w \geq y$
Άρα $w \geq y\Rightarrow x \leq z \Rightarrow x = z \Rightarrow y =w$

H συνέχεια όπως γίνεται στις προηγούμενες λύσεις.

Leibnizian · #86

: ARCHIMIDIS3_2003.png (106.86 KiB) Προβλήθηκε 2069 φορές

Ετεροχρονισμένα, μια διαφορετική λύση για την Γεωμετρία των μεγάλων:

Αρχικά θα αποδείξουμε ότι το περίκεντρο $\displaystyle{ O }$ του $\displaystyle{ BIC }$ βρίσκεται πάνω στον περιγεγραμμένο κύκλο του αρχικού $\displaystyle{ ABC }$ . Πράγματι, $\displaystyle{ \angle{BIC}=\pi-\frac{B}{2}-\frac{C}{2}=\pi-\frac{B+C}{2} }$ . Όμως είναι και εγγεγραμμένη που βαίνει στο μη κυρτό τόξο $\displaystyle{ BC }$ . Άρα η μη κυρτή επίκεντρη γωνία είναι $\displaystyle{ 2\pi-(B+C) }$ άρα η κυρτή $\displaystyle{ B+C }$ . Συνεπώς είναι παραπλήρωμα της $\displaystyle{ A }$ και αυτό είναι αρκετό για να συμπεράνουμε ότι $\displaystyle{ ABOC }$ εγγεγραμμένο. Τώρα θα δείξουμε ότι $\displaystyle{ A,M,I,D,O }$ συνευθειακά. Έχουμε $\displaystyle{ \angle{BAO}=\angle{BCO}, \angle{OAC}=\angle{OBC}, \angle{OBC}=\angle{BCO} }$ επειδή $\displaystyle{ BOC }$ ισοσκελές, άρα $\displaystyle{ \angle{BAO}=\angle{OAC} }$ , συνεπώς $\displaystyle{ AO }$ είναι η διχοτόμος. Όπερ έδει δείξαι. Στην συνέχεια φέρουμε την $\displaystyle{ OK \perp{FC} }$ . Τότε $\displaystyle{ \angle{FBC}=\frac{\angle{FOC}}{2}=\angle{FOH} }$ , και με κυνήγι γωνιών βρίσκουμε ότι τα $\displaystyle{ ABM, AOK }$ είναι όμοια. Όμοια όμως είναι (προφανώς) και τα $\displaystyle{ ABD,AOC }$ και $\displaystyle{ M }$ μέσον του $\displaystyle{ AD }$ . Άρα και $\displaystyle{ K }$ μέσον του $\displaystyle{ AC }$ . Άρα η $\displaystyle{ HK }$ ενώνει τα μέσα δύο πλευρών στο τρίγωνο $\displaystyle{ AFC }$ , συνεπώς $\displaystyle{ HK \parallel{AF} }$ . Όμως προφανώς $\displaystyle{ HK \perp{FC} }$ , άρα και $\displaystyle{ AF \perp{FC} }$ .

ΠΡΟΣΟΧΗ: Στο σχήμα το C εμφανίζεται σαν Γ και το D σαν Δ.

Mathsworld20 · #87

achilleas έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 20, 2023 2:54 pm

silouan έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 20, 2023 1:56 pm
Με βάση το πρόβλημα 2 των μεγάλων, να θέσω το παρακάτω ερώτημα.

Υπάρχει τετράγωνο που να τελειώνει σε 2225;

Προσπαθώντας να βρούμε ένα τέτοιο τετράγωνο, έστω , αφού , θα πρέπει η διαφορά $x^2-15^2=(x-15)\cdot (x+15)$ να διαιρείται με το $2000=2^4\cdot 5^3$ .

Αφού $(x+15)-(x-15)=30=2\cdot 3\cdot 5$

Το και το διαιρούν ακριβώς έναν από τους .

Ας πάρουμε την περίπτωση και , με ακέραιους.

Τότε βρίσκουμε , , και για θετικό ακέραιο .

Επίσης, πρέπει το γινόμενο να τελειώνει σε 1.

Εύκολα βλέπουμε ότι με είναι , με και

Πράγματι, .

Μάλιστα, οποιοδήποτε τετράγωνο της μορφής $(1000\nu+585)^2$ για $\nu\geq 0$ λήγει σε .

Φιλικά,

Αχιλλέας

Καλησπέρα.

Αν και είμαι αρχάριος ,θα έλεγα πως τα Μαθηματικά μου αρέσουν πολύ και για αυτό μου αρέσει να βλέπω ''περίεργα'' προβλήματα- αν και μερικές φορές ξεπερνούν τις δυνατότητές μου. Αναφορικά με αυτό το πρόβλημα, μου κέντρισε το ενδιαφέρον και προσπάθησα να το λύσω. Βλέποντας αυτή τη λύση θα ήθελα να ρωτήσω για ένα σημείο που δεν κατανόησα. Συγκεκριμένα γιατί το γινόμενο yz να τελειώνει σε 1.

Η βοήθειά σας θα μου φανεί πολύτιμη και συγχωρέσετε με αν η ερώτηση είναι πολύ χαζή ή αν έκανα κάποιο λάθος στη σύνταξη της ερώτησης γιατί είμαι και νέο μέλος στο forum.

Σας ευχαριστώ εκ των προτέρων

#88

Mathsworld20 έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 22, 2025 9:20 pm

achilleas έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 20, 2023 2:54 pm
...
Τότε βρίσκουμε , , και για θετικό ακέραιο .

Επίσης, πρέπει το γινόμενο να τελειώνει σε 1.
...
Βλέποντας αυτή τη λύση θα ήθελα να ρωτήσω για ένα σημείο που δεν κατανόησα. Συγκεκριμένα γιατί το γινόμενο yz να τελειώνει σε 1.

.
Καλώς ήλθες στο φόρουμ. Ελπίζω να το απολαύσεις.

Στο ερώτημά σου: Ο παραπάνω συλλογισμός ΔΕΝ λέει ότι το

τελειώνει σε

. Λέει ότι ΠΡΕΠΕΙ να τελειώνει σε

, δηλαδή ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΔΙΑΛΕΞΟΥΜΕ το

ώστε το

να τελειώνει σε

. Με άλλα λόγια, είναι ζητούμενο. Και αμέσως παρακάτω βρήκε κατάλληλο

, το

, που κάνει την δουλειά.

Mathsworld20 · #89

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 22, 2025 9:36 pm

Mathsworld20 έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 22, 2025 9:20 pm

achilleas έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 20, 2023 2:54 pm
...
Τότε βρίσκουμε , , και για θετικό ακέραιο .

Επίσης, πρέπει το γινόμενο να τελειώνει σε 1.
...
Βλέποντας αυτή τη λύση θα ήθελα να ρωτήσω για ένα σημείο που δεν κατανόησα. Συγκεκριμένα γιατί το γινόμενο yz να τελειώνει σε 1.
.
Καλώς ήλθες στο φόρουμ. Ελπίζω να το απολαύσεις.

Στο ερώτημά σου: Ο παραπάνω συλλογισμός ΔΕΝ λέει ότι το τελειώνει σε . Λέει ότι ΠΡΕΠΕΙ να τελειώνει σε , δηλαδή ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΔΙΑΛΕΞΟΥΜΕ το ώστε το να τελειώνει σε . Με άλλα λόγια, είναι ζητούμενο. Και αμέσως παρακάτω βρήκε κατάλληλο , το , που κάνει την δουλειά.

Σας ευχαριστώ ιδιαίτερα για την άμεση απάντηση.

Θα μπορούσατε λοιπόν σύντομα να μου εξηγήσετε γιατί είναι ζητούμενο το yz να τελειώνει σε 1.

Σας ευχαριστώ και πάλι.

#90

Mathsworld20 έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 22, 2025 9:40 pm

Σας ευχαριστώ ιδιαίτερα για την άμεση απάντηση.

Θα μπορούσατε λοιπόν σύντομα να μου εξηγήσετε γιατί είναι ζητούμενο το yz να τελειώνει σε 1.

Σας ευχαριστώ και πάλι.

.
Επειδή το θέμα είναι απλό, θα σου πρότεινα να διαβάσεις μόνος σου την απόδειξη και να μας πεις πιο βήμα σε δυσκολεύει.
Για την ώρα δίνω το κύριο σημείο που πρέπει να προσέξεις:

Θέλουμε το (x-15)(x+15)

να διαιρείται με το 2000

, όπου

και

. Συνέχισε.

#91

Για την ακρίβεια, θέλουμε $yz\equiv 1 \pmod{5}$ , δηλ. θα μπορούσε το

να λήγει και σε 6 (mod 10).

Το γιατί είναι πράγματι απλό.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Mathsworld20 · #92

Τι να πω... ίσως το επίπεδο μου να είναι αρκετά χαμηλό και δεν μπορώ να το δω... έχει κολλήσει το μυαλό μου στο συγκεκριμένο ενώ η υπόλοιπη λυση μου φαίνεται απλή και "λογική".

#93

Δεν πρέπει να σκέπτεσαι αρνητικά. Αντίθετα, το μήνυμα που έχω να σου δώσω είναι ότι δεν αρχίζουμε από το Επίπεδο Αρχιμήδη. Όπως κάναμε ΟΛΟΙ μας, πρέπει να αρχίσουμε από την αρχή. Όλοι περάσαμε από Θαλή και Ευκλείδη πριν φτάσουμε στα δύσκολα χωράφια. Στη χώρα μας έχουμε την συνήθεια να αρχίζουμε από το τέλος, οπότε μένουμε με ελλείψεις. Δεν υπάρχει λόγος να επαναλάβεις μία αδόκιμη πρακτική.

Είμαι βέβαιος ότι αν μελετήσεις τα παλιά θέματα του Θαλή θα περάσεις πολύ γρήγορα στον Ευκλείδη, και από εκεί ανοίγονται οι ορίζοντες. Όπως στην φύση με τα δέντρα, πρέπει να περάσει ένα διάστημα γονικότητας πριν καρποφορήσουν. Αλλά μετά τα φρούτα είναι γλυκά.

Σου εύχομαι "καλό ταξίδι". Αυτό που μετράει είναι η χαρά της ενασχόλησης.

#94

Mathsworld20 έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 23, 2025 5:25 pm
Τι να πω... ίσως το επίπεδο μου να είναι αρκετά χαμηλό και δεν μπορώ να το δω... έχει κολλήσει το μυαλό μου στο συγκεκριμένο ενώ η υπόλοιπη λυση μου φαίνεται απλή και "λογική".

Θέλουμε το γινόμενο $2000\cdot yz$ να τελειώνει σε

έτσι ώστε όταν προσθέσουμε το 225 να πάρουμε έναν αριθμό που να τελειώνει σε

.

Αυτό συμβαίνει όταν είναι yz=....1

, αφού $1\cdot 2=2$ , αλλά και όταν yz=....6

, αφού $....6\cdot 2=....12$ .

Εφόσον θέλαμε απλώς να βρούμε ένα παράδειγμα, πήραμε την 1η περίπτωση. Θα μπορούσαμε να είχαμε πάρει (και) τη 2η.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Mathsworld20 · #95

Ναι!! Τώρα μάλιστα... Σας ευχαριστώ πάρα πολύ κύριε Αχιλλέα που με βοηθήσατε... Να είστε καλά!!

Θα προσπαθήσω να ακολουθήσω και τη συμβουλή του κυρίου Λάμπρου και να ασχοληθώ με χαμηλότερης δυσκολίας προβλήματα πρώτα ώστε να προχωρήσω σταδιακά.

Σας ευχαριστώ και πάλι και όποια άλλη απορία κι αν έχω θα επιστρέψω εδώ στο forum!!

ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2023

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2023

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2023

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2023

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2023

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2023

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2023

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2023

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2023

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2023

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2023

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2023

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2023

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2023

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2023

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2023

Μέλη σε σύνδεση