Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2025 (10η τάξη)

[Al.Koutsouridis]

LXXXVIII Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας
16 Μαρτίου 2025 10η τάξη

Πρόβλημα 1. Ο δούκας Αθροισμάτορ διάλεξε μερικούς πραγματικούς αριθμούς (τουλάχιστον ένα, αλλά μπορεί και άπειρο πλήθος). Το ίδιο έκανε και ο δούκας Αφαιρέτορ. Προέκυψε ότι αν ο είναι αριθμός του Αθροισμάτορ και ο αριθμός του Αφαιρέτορ, τότε ο είναι αριθμός του Αθροισμάτορ και ο αριθμός του Αφειρέτορ. Άραγε απαραίτητα θα είναι όλοι οι αριθμοί του Αθροισμάτορ και αριθμοί του Αφαιρέτορ;

Πρόβλημα 2. Στο τρίγωνο με ορθή την γωνία φέρουμε το ύψος . Ο κύκλος, που διέρχεται από τα σημεία και , τέμνει δεύτερη φορά τα τμήματα και στα σημεία και αντίστοιχα. Τα τμήματα και τέμνονται στο σημείο . Τι είναι μεγαλύτερο: το εμβαδόν του τριγώνου ή το άθροισμα των εμβαδών των τριγώνων και ;

μομ_2025_τάξη10_πρ2.png (25.42 KiB) Προβλήθηκε 2029 φορές

Πρόβλημα 3. Στο Κάμελοτ μαζεύτηκαν ιππότες της Στρογγυλής Τραπέζης, οποιοιδήποτε δυο εκ των οποίων είτε είναι φίλοι, είτε εχθροί (η φιλία και η εχθρότητα είναι αμοιβαίες). Η Μόργκανα λε Φέυ μπορεί να διαλέξει οποιονδήποτε ιππότη και να πράξει έτσι, ώστε αυτός να γίνει εχθρός με όλους τους φίλους του και φίλος με όλους τους εχθρούς του. Το ξόρκι αυτό μπορεί να το εφαρμόσει η Μοργκάνα όσες φορές θέλει. Να αποδείξετε, ότι μπορεί να επιτύχει, στο τέλος να προκύψουν δυο τέτοιες ομάδες των πέντε ιπποτών, ώστε κάθε ιππότης της πρώτης ομάδας να είναι εχθρός με κάθε ιππότη της άλλης ομάδας.

Πρόβλημα 4. Υπάρχουν άραγε τέτοιοι μη μηδενικοί φυσικοί αριθμοί και και τέτοιο πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές, ώστε ο να μην διαιρείτε με τον , αλλά ο να διαιρείται με τον για οποιονδήποτε πρώτο αριθμό και οποιονδήποτε μη μηδενικό φυσικό ;

Πρόβλημα 5. Τα ύψη ενός οξυγώνιου τριγώνου τέμνονται στο σημείο . Η διχοτόμος της γωνίας τέμνει το τμήμα στο σημείο , η διχοτόμος της γωνίας τέμνει το τμήμα στο σημείο . Συμβολίζουμε το μέτρο της γωνίας με . Ανάλογα ορίζονται και τα και . Να βρείτε την τιμή του αθροίσματος .

μομ_2025_ταξη10_πρ5.png (45.86 KiB) Προβλήθηκε 2029 φορές

Πρόβλημα 6. Έξω από την ταβέρνα βρίσκονται ξωτικά, νάνοι και ορκ. Στην αρχή εισέρχονται ξωτικά, νάνοι και ορκ. Ύστερα κάθε λεπτό από αυτήν εξέρχεται ένα πλάσμα και αμέσως εισέρχεται άλλο, εξάλλου πάντα μετά την έξοδο ενός ξωτικού εισέρχεται νάνος, με την έξοδο νάνου, ορκ και με την έξοδο ορκ, ξωτικό. Μπορεί άραγε να προκύψει έτσι, ώστε σε κάποια χρονική στιγμή στην ταβέρνα να υπήρξαν όλες οι δυνατές ομάδες πλασμάτων ακριβώς από μια φορά; Όλα τα πλάσματα είναι διαφορετικά.

[αρψ2400]

Πρόβλημα 6.

Πρόβλημα 6. Έξω από την ταβέρνα βρίσκονται 100 ξωτικά, 100 νάνοι και 100 ορκ. Στην αρχή εισέρχονται 10 ξωτικά, 10 νάνοι και 10 ορκ. Ύστερα κάθε λεπτό από αυτήν εξέρχεται ένα πλάσμα και αμέσως εισέρχεται άλλο, εξάλλου πάντα μετά την έξοδο ενός ξωτικού εισέρχεται νάνος, με την έξοδο νάνου, ορκ και με την έξοδο ορκ, ξωτικό. Μπορεί άραγε να προκύψει έτσι, ώστε σε κάποια χρονική στιγμή στην ταβέρνα να υπήρξαν όλες οι δυνατές ομάδες 30 πλασμάτων ακριβώς από μια φορά; Όλα τα 300 πλάσματα είναι διαφορετικά.

Έστω x ,y ,z οι τρεις κινήσεις με τη σειρά σπου αναφέρονται .Ο πορτιέρης στο υποθετικό σενάριο που ''με κάποιο τρόπο υπήρξαν όλες οι δυνατές ομάδες 30 πλασμάτων ακριβώς από μια φορά'' αντιπαραβάλει ένα άλλο υποθετικό σενάριο που κάνει ακριβώς τα ίδια αλλά εναλλάσσοντας τα ξωτικά με τους νάνους .Τοτε στο 1ο σενάριο (ν ,ξ ,ο ) =( 10 +χ -y , 10+z -x , 10 + y -z ) και στο 2ο σενάριο (ν ,ξ ,ο ) = (10 +z-x , 10+x-y , 10 + y -z ).H διαφορά ν-ξ σε κάθε κίνηση αλλάζει ομοτιμία mod3 αλλά αφού ο αριθμός των κινήσεων στις δύο περιπτώσεις είναι ίδιος θα πρέπει 2χ-(y +z) = (y+z)-2x mod3 δηλαδή το 3 πρέπει στο τέλος να διαιρεί τη διαφορά τους 4χ- 2(y+z)=6χ-2(x+y+z).Δηλαδή το 3 πρέπει στο τέλος να διαιρεί το άθροισμα x+y+z .x+y+z = Σ-1 όπου Σ = = 3λ+2 .Άρα x+y+z = 3λ+1 .'Ατοπο.

[αρψ2400]

Πρόβλημα 3.

Πρόβλημα 3. Στο Κάμελοτ μαζεύτηκαν 100 ιππότες της Στρογγυλής Τραπέζης, οποιοιδήποτε δυο εκ των οποίων είτε είναι φίλοι, είτε εχθροί (η φιλία και η εχθρότητα είναι αμοιβαίες). Η Μόργκανα λε Φέυ μπορεί να διαλέξει οποιονδήποτε ιππότη και να πράξει έτσι, ώστε αυτός να γίνει εχθρός με όλους τους φίλους του και φίλος με όλους τους εχθρούς του. Το ξόρκι αυτό μπορεί να το εφαρμόσει η Μοργκάνα όσες φορές θέλει. Να αποδείξετε, ότι μπορεί να επιτύχει, στο τέλος να προκύψουν δυο τέτοιες ομάδες των πέντε ιπποτών, ώστε κάθε ιππότης της πρώτης ομάδας να είναι εχθρός με κάθε ιππότη της άλλης ομάδας.

Θα σχηματίσουμε 3 ομάδες Α ,Β ,Γ .Οι Α ,Β στο τέλος θα ικανοποιούν τη συνθήκη , ''κάθε ιππότης της πρώτης ομάδας Α να είναι εχθρός με κάθε ιππότη της άλλης ομάδας Β.Αρχικά παίρνουμε έναν ιππότη και τον κάνουμε εχθρό με όλους τους άλλους 99 αλλάζοντας τις ενδεχόμενες φιλίες των άλλων ώς προς αυτόν (το ξόρκι γίνεται στους άλλους).Ο ιππότης αυτός τοποθετείται στην ομάδα Α και οι υπόλοιποι 99 στην ομάδα Β.Πάιρνουμε έναν ιππότη από τους 99 και τον τοποθετούμε στην ομάδα Α.Του εφαρμόζουμε το ξόρκι αν έχει λιγότερους από 49 εχθρούς στην ομάδα Β, ώστε να έχει σίγουρα 49 εχθρούς σε αυτήν.Τοποθετούμε τους 49 μη σίγουρους εχθρούς του ,στο Γ.Στη συνέχεια παίρνουμε έναν από το σύνολό Γ και του εφαρμόζουμε το ξόρκι αν έχει λιγότερους από 25 εχθρούς στην ομάδα Β, ώστε να έχει σίγουρα 25 εχθρούς στην ομάδα Β.Τοποθετούμε τους υπόλοιπους 24 από το Β στο Γ.Στη συνέχεια παίρνουμε έναν από το σύνολό Γ και του εφαρμόζουμε το ξόρκι αν έχει λιγότερους από 13 εχθρούς στην ομάδα Β, ώστε να έχει σίγουρα 13 εχθρούς στην ομάδα Β.Τοποθετούμε τους υπόλοιπους 12 από το Β στο Γ.Στη συνέχεια παίρνουμε έναν από το σύνολό Γ και του εφαρμόζουμε το ξόρκι αν έχει λιγότερους από 7 εχθρούς στην ομάδα Β, ώστε να έχει σίγουρα 7 εχθρούς στην ομάδα Β.Τοποθετούμε τους υπόλοιπους 6 + 2 ακόμα από το Β στο Γ.Τώρα τα Α και Β ικανοποιούν την απαιτούμενη συνθήκη.

[abfx]

Πρόβλημα 1. Ο δούκας Αθροισμάτορ διάλεξε μερικούς πραγματικούς αριθμούς (τουλάχιστον ένα, αλλά μπορεί και άπειρο πλήθος). Το ίδιο έκανε και ο δούκας Αφαιρέτορ. Προέκυψε ότι αν ο είναι αριθμός του Αθροισμάτορ και ο αριθμός του Αφαιρέτορ, τότε ο είναι αριθμός του Αθροισμάτορ και ο αριθμός του Αφειρέτορ. Άραγε απαραίτητα θα είναι όλοι οι αριθμοί του Αθροισμάτορ και αριθμοί του Αφαιρέτορ;

Έστω το σύνολο των αριθμών που επέλεξε ο Αθροισμάτορ και το σύνολο των αριθμών που επέλεξε ο Αφαιρέτορ.

Από την υπόθεση έχουμε ότι και . Θα δείξουμε ότι .

• ""

Έστω . Αφού , υπάρχει . Τότε και άρα .

• ""

Έστω . Αφού , υπάρχει .

Από πάνω έχουμε οπότε είναι και . Άρα, . Έτσι, και

πάλι από τον πρώτο εγκλεισμό . Επομένως, όπως θέλαμε.