ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2025-2026 (ΘΕΜΑΤΑ και ΛΥΣΕΙΣ)

[ΓΙΩΡΓΟΣ ΣΤΑΥΡΟΥ]

Ναί, εγώ επίσης βρήκα πως είναι 10 μοίρες.

[michalis.k]

Γ λυκείου 2ο
Το σύνολο Α έχει 1013 περιττούς κ 1012 άρτιους
Κάθε περιττός στην γραφή του ως άθροισμα μπορεί να περιέχει 1 ή 3 περιττούς
Κάθε άρτιος 2 ή 4 ή 0
Δηλαδή σε κάθε περίπτωση γίνεται χρήση απ' το σύνολο Α άρτιου αριθμού περιττών αριθμών
Εάν μπορούσε να διαχωριστούν κατά την εκφώνηση θα ίσχυε
1013 αρτιος
άτοπο

Μπορείτε να γράψετε την λύση πιο αναλυτικά διότι δεν καταλαβαίνω τους ισχυρισμούς με κόκκινο.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Πρέπει οι 405 αριθμοί από τα 405 σύνολα που δημιουργούμε να γράφουν ως άθροισμα 4 άλλων αριθμών του Α
Οι περιττοί απ' αυτούς για να είναι περιττοί πρέπει 3 η 1 αριθμοί από το άθροισμα να είναι περιττοί γιατί αλλιώς θα ήταν άρτιοι. Με το ίδιο σκεπτικό για τους άρτιους

[ΔΑΣΚΑΛΑΚΗ]

ΔΑΣΚΑΛΑΚΗ ΓΕΩΡΓΙΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Καλησπέρα!! Η σωστή απάντηση στο πρόβλημα 2 της Β λυκείου
Ευκλείδης 2026 είναι το ζεύγος (x,y)=(10,5)
Προσοχή στην αιτιολόγηση καθως πρέπει να ληφθούν υπόψη όλες
οι επιμέρους περιπτώσεις!

[NewMember]

Μήπως γνωρίζει κανείς ποιες είναι οι επόμενες φάσεις? Όσα παιδιά περάσουν στον Ευκλείδη, δίνουν για τον Αρχιμήδη με κοινά θέματα οι μαθητές του γυμνασίου και κοινά του λυκείου? Διάβαζα και για κάποια βραβεία στον Ευκλείδη. Αυτά αφορούν όσους μαθητές πέρασαν στην γ φάση και πήραν τις υψηλότερες βαθμολογίες στην β φάση?
Πάλι για τον Ευκλείδη διαμορφώνεται μια βάση πχ 12 ή 15 ή περνάει συγκεκριμένος αριθμός μαθητών?

[Dimessi]

Γ3.png (41.32 KiB) Προβλήθηκε 1056 φορές

Θέμα 3ο Γ' λυκείου. Θα βάλω δύο λύσεις που βρήκα όταν το πρωτοείδα. Γράφω ομαλά για να ακολουθούν και μαθητές.

1η λύση .

Έστω

Από θεώρημα Μενέλαου στο με διατέμνουσα είναι

Eπειδή

Επειδή

Επομένως

Όμως

άρα τα σημεία είναι αρμονικά συζυγή των κι αφού η είναι διχοτόμος και η

εξωτερική διχοτόμος στο

2η λύση.

Έστω

Tότε και , άρα

Από θεώρημα Μενέλαου στο με διατέμνουσα

Γ3.png (41.32 KiB) Προβλήθηκε 1056 φορές

[Fotis34]

Στη Β Γυμνασίου στην γεωμετρία βρήκα κανονική τιμή γωνίας, όχι σε συνάρτηση του ω, αφού το πρόβλημα ζητούσε να βρεθεί το μέτρο της γωνίας και όχι να βρεθεί το μέτρο της γωνίας συναρτήσει του ω.

Σωστά! Ίση με 10 μοίρες?.

Σωστά!

[Belias]

Δε βλέπω λύση για το 4ο της β' λυκείου, οπότε θα γράψω τη δικιά μου. Πληροφορήθηκα από φίλους πως βγαίνει και με Vieta.
Είναι που είναι άμεσο ανοίγοντας την ταυτότητα, άρα το πρώτο ερώτημα έπεται.
Όσον αφορά το δεύτερο, η εξίσωση έχει ρητές ρίζες και από θεώρημα ρητής ρίζας ο παρονομαστής αυτών θα διαιρεί τον μεγιστοβάθμιο συντελεστή, δηλαδή οι ρίζες είναι ακέραιες. Πρέπει η διακρίνουσα δηλαδή να είναι τέλειο τετράγωνο.
. Επίσης .
Για , ας υποθέσουμε πως είναι τότε πρέπει . Βάζοντας αυτές τις τιμές βλέπουμε πως η ισότητα δεν επαληθεύεται, οπότε όταν οι λύσεις είναι άρρητες.

[Fotis34]

Θα μπορούσε κάποιος να αναρτήσει την λύση για τα θέματα 3 και 2 της Β' Γυμνασίου; Έλυσα και τα 4 θέματα και αυτά τα δύο είναι τα μόνα που δεν είμαι 100% σίγουρος πως τα έλυσα σωστά, ειδικά το θέμα 2.
Ευχαριστώ

Για το Πρόβλημα 2:

(α) Για να παίρνει την ελάχιστη τιμή του ΜΚΔ{a,20} πρέπει ο a με τον 20 να είναι πρώτοι μεταξύ τους. Το ίδιο ισχύει και για το ΜΚΔ{a,40} διότι πρέπει ο a με τον 20 να είναι πρώτοι μεταξύ τους. Άρα , (χωρίς να τα γράφω τώρα εντελώς αναλυτικά) , a=1,3,7,9,11,13,17,19,21,23,27,29,31,33,37,39.

(β) Για να παίρνει μέγιστο ο αριθμός ΜΚΔ{a,20} , πρέπει a πολλαπλάσιο του 20, άρα a=20,40 . Για να παίρνει μέγιστο ο αριθμός ΜΚΔ{a,40} , πρέπει ο αριθμός a να είναι πολλαπλάσιο του 40 , άρα μόνο για a=40 , αφού 1≤a≤40. Επομένως η τιμή του a είναι 40 , για την οποία το άθροισμα παίρνει μέγιστη τιμή.

[AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ]

Ωραία θέματα, κάποια ευκολότερα αλλά θεωρώ δυσκολότερο όλων το 4 της Β λυκείου.
Μία εναλλακτική προσέγγιση του 3 της Γ λυκείου το οποίο θυμίζει έντονα το 2 της Β λυκείου του 1986 στον Πανελλήνιο Διαγωνισμό της ΕΜΕ.

ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ.png (8.27 KiB) Προβλήθηκε 1045 φορές

Από το Θ. Κεντρικής Δέσμης, έχουμε , επομένως τα είναι συμμετρικά ως προς , οπότε το συμπέρασμα είναι άμεσο.

[Fotis34]

Μήπως γνωρίζει κανείς ποιες είναι οι επόμενες φάσεις? Όσα παιδιά περάσουν στον Ευκλείδη, δίνουν για τον Αρχιμήδη με κοινά θέματα οι μαθητές του γυμνασίου και κοινά του λυκείου? Διάβαζα και για κάποια βραβεία στον Ευκλείδη. Αυτά αφορούν όσους μαθητές πέρασαν στην γ φάση και πήραν τις υψηλότερες βαθμολογίες στην β φάση?
Πάλι για τον Ευκλείδη διαμορφώνεται μια βάση πχ 12 ή 15 ή περνάει συγκεκριμένος αριθμός μαθητών?

Λοιπόν, τα παιδιά τα οποία θα διακριθούν από τις τάξεις Β' , Γ' Γυμνασίου και Α' , Β' , Γ' Λυκείου, δίνουν κοινά θέματα όλοι οι μαθητές του Γυμνασίου, και κοινά θέματα όλοι οι μαθητές του Λυκείου. Όσο για τα Βραβεία, που αναφέρεις, δεν μπορώ να σου πω κάτι, γιατί δεν ξέρω για ποιον νόμο απευθύνεσαι, αλλά λογικά εννοείς της Αθήνας. Οι βάσεις διαμορφώνονται κάθε χρόνο σε όλους τους διαγωνισμούς της Ε.Μ.Ε σε σχέση με τον βαθμό δυσκολίας των θεμάτων και με βάση τον αριθμό διακριθέντων που έχει ορίσει η επιτροπή διαγωνισμών.

Ελπίζω να βοήθησα, έστω και λίγο.

[ΔΑΣΚΑΛΑΚΗ]

Καλησπέρα!
Πρόβλημα 1, Γ Γυμνασίου, Ευκλείδης 2026 η απάντηση
είναι 5⁵=3125
Η φιλοσοφία είναι η εξής:
Μέσω της δοσμένης σχέσης δημιουργούμε τους πρώτους
2 όρους και αναλύουμε σε γινόμενο πρώτων παραγόντων για
να εμφανιστεί ο αριθμός 5...

ΔΑΣΚΑΛΑΚΗ ΓΕΩΡΓΙΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

[NewMember]

Μήπως γνωρίζει κανείς ποιες είναι οι επόμενες φάσεις? Όσα παιδιά περάσουν στον Ευκλείδη, δίνουν για τον Αρχιμήδη με κοινά θέματα οι μαθητές του γυμνασίου και κοινά του λυκείου? Διάβαζα και για κάποια βραβεία στον Ευκλείδη. Αυτά αφορούν όσους μαθητές πέρασαν στην γ φάση και πήραν τις υψηλότερες βαθμολογίες στην β φάση?
Πάλι για τον Ευκλείδη διαμορφώνεται μια βάση πχ 12 ή 15 ή περνάει συγκεκριμένος αριθμός μαθητών?

Λοιπόν, τα παιδιά τα οποία θα διακριθούν από τις τάξεις Β' , Γ' Γυμνασίου και Α' , Β' , Γ' Λυκείου, δίνουν κοινά θέματα όλοι οι μαθητές του Γυμνασίου, και κοινά θέματα όλοι οι μαθητές του Λυκείου. Όσο για τα Βραβεία, που αναφέρεις, δεν μπορώ να σου πω κάτι, γιατί δεν ξέρω για ποιον νόμο απευθύνεσαι, αλλά λογικά εννοείς της Αθήνας. Οι βάσεις διαμορφώνονται κάθε χρόνο σε όλους τους διαγωνισμούς της Ε.Μ.Ε σε σχέση με τον βαθμό δυσκολίας των θεμάτων και με βάση τον αριθμό διακριθέντων που έχει ορίσει η επιτροπή διαγωνισμών.

Ελπίζω να βοήθησα, έστω και λίγο.

Ευχαριστώ!

[NewMember]

Θα μπορούσε κάποιος να αναρτήσει την λύση για τα θέματα 3 και 2 της Β' Γυμνασίου; Έλυσα και τα 4 θέματα και αυτά τα δύο είναι τα μόνα που δεν είμαι 100% σίγουρος πως τα έλυσα σωστά, ειδικά το θέμα 2.
Ευχαριστώ

Για το Πρόβλημα 2:

(α) Για να παίρνει την ελάχιστη τιμή του ΜΚΔ{a,20} πρέπει ο a με τον 20 να είναι πρώτοι μεταξύ τους. Το ίδιο ισχύει και για το ΜΚΔ{a,40} διότι πρέπει ο a με τον 20 να είναι πρώτοι μεταξύ τους. Άρα , (χωρίς να τα γράφω τώρα εντελώς αναλυτικά) , a=1,3,7,9,11,13,17,19,21,23,27,29,31,33,37,39.

(β) Για να παίρνει μέγιστο ο αριθμός ΜΚΔ{a,20} , πρέπει a πολλαπλάσιο του 20, άρα a=20,40 . Για να παίρνει μέγιστο ο αριθμός ΜΚΔ{a,40} , πρέπει ο αριθμός a να είναι πολλαπλάσιο του 40 , άρα μόνο για a=40 , αφού 1≤a≤40. Επομένως η τιμή του a είναι 40 , για την οποία το άθροισμα παίρνει μέγιστη τιμή.

Δεν είχα σκεφτεί ότι έπρεπε να γραφτούν και οι υπόλοιπες τιμές του α για το πρώτο ερώτημα (εκτός από το α=1).

[ΔΑΣΚΑΛΑΚΗ]

Πρόβλημα 1 ,Β γυμνασίου,Ευκλείδης 2026
Βρήκα απάντηση Α/Β=5^{-3}

ΔΑΣΚΑΛΑΚΗ ΓΕΩΡΓΙΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

[Fotis34]

Θα μπορούσε κάποιος να αναρτήσει την λύση για τα θέματα 3 και 2 της Β' Γυμνασίου; Έλυσα και τα 4 θέματα και αυτά τα δύο είναι τα μόνα που δεν είμαι 100% σίγουρος πως τα έλυσα σωστά, ειδικά το θέμα 2.
Ευχαριστώ

Για το Πρόβλημα 2:

(α) Για να παίρνει την ελάχιστη τιμή του ΜΚΔ{a,20} πρέπει ο a με τον 20 να είναι πρώτοι μεταξύ τους. Το ίδιο ισχύει και για το ΜΚΔ{a,40} διότι πρέπει ο a με τον 20 να είναι πρώτοι μεταξύ τους. Άρα , (χωρίς να τα γράφω τώρα εντελώς αναλυτικά) , a=1,3,7,9,11,13,17,19,21,23,27,29,31,33,37,39.

(β) Για να παίρνει μέγιστο ο αριθμός ΜΚΔ{a,20} , πρέπει a πολλαπλάσιο του 20, άρα a=20,40 . Για να παίρνει μέγιστο ο αριθμός ΜΚΔ{a,40} , πρέπει ο αριθμός a να είναι πολλαπλάσιο του 40 , άρα μόνο για a=40 , αφού 1≤a≤40. Επομένως η τιμή του a είναι 40 , για την οποία το άθροισμα παίρνει μέγιστη τιμή.

Δεν είχα σκεφτεί ότι έπρεπε να γραφτούν και οι υπόλοιπες τιμές του α για το πρώτο ερώτημα (εκτός από το α=1).

Νομίζω ότι η εκφώνηση, βέβαια, το έκανε ξεκάθαρο, αφού έλεγε: " Να προσδιορίσετε όλες τις τιμές .... "

[pauloslag]

ποιες ειναι οι λυσεις στο θεμα 4 της γ λυκειου?

[Bill.]

Στο πρόβλημα 2 της Γ Γυμνασίου έβγαλα ότι δεν υπάρχει κατάλληλος ν ώστε ο Α να είναι τετράγωνο ακεραίου και ο Β κύβος ακεραίου. Είμαι σχεδόν σίγουρος ότι το έχω κάνει λάθος όμως θέλω να το επιβεβαίωσω. Παρόλα αυτά τα υπόλοιπα προβλήματα τα έλυσα σχετικά ευκολα

[Bill.]

Στο πρόβλημα 2 της Γ Γυμνασίου έβγαλα ότι δεν υπάρχει κατάλληλος ν ώστε ο Α να είναι τετράγωνο ακεραίου και ο Β κύβος ακεραίου. Είμαι σχεδόν σίγουρος ότι το έχω κάνει λάθος όμως θέλω να το επιβεβαίωσω. Παρόλα αυτά τα υπόλοιπα προβλήματα τα έλυσα σχετικά ευκολα

2178=https://latex.codecogs.com/svg.image?2*3^2*11^2
810= https://latex.codecogs.com/svg.image?2*3^4*5
Για να γίνει θετικος ακεραιος στον κυβο το 810 πρπ να το πολλαπλασιασουμε με το https://latex.codecogs.com/svg.image?2^2*3^2*5^2=900. Παρατηρουμε ομως οτι αν πολλαπλασιασουμε με το 900 το 2178 δεν θα γινει τελειο τετραγωνο. Επόμενο ν που δοκιμαζουμε ειναι το 2^5 * 3^2 * 5^2 =7200 . Όντως αν πολλασπλασιάσουμε το 2178 με το 7200 ειναι τέλειο τετράγωνο , αφού
https://latex.codecogs.com/svg.image?21 ... ^2*11*5)^2

[Fotis34]

Στο πρόβλημα 2 της Γ Γυμνασίου έβγαλα ότι δεν υπάρχει κατάλληλος ν ώστε ο Α να είναι τετράγωνο ακεραίου και ο Β κύβος ακεραίου. Είμαι σχεδόν σίγουρος ότι το έχω κάνει λάθος όμως θέλω να το επιβεβαίωσω. Παρόλα αυτά τα υπόλοιπα προβλήματα τα έλυσα σχετικά ευκολα

2178=https://latex.codecogs.com/svg.image?2*3^2*11^2
810= https://latex.codecogs.com/svg.image?2*3^4*5
Για να γίνει θετικος ακεραιος στον κυβο το 810 πρπ να το πολλαπλασιασουμε με το https://latex.codecogs.com/svg.image?2^2*3^2*5^2=900. Παρατηρουμε ομως οτι αν πολλαπλασιασουμε με το 900 το 2178 δεν θα γινει τελειο τετραγωνο. Επόμενο ν που δοκιμαζουμε ειναι το 2^5 * 3^2 * 5^2 =7200 . Όντως αν πολλασπλασιάσουμε το 2178 με το 7200 ειναι τέλειο τετράγωνο , αφού
https://latex.codecogs.com/svg.image?21 ... ^2*11*5)^2

Βάλε σε κάθε block μαθηματικών δύο $

[Ellieboun]

Προβλημα 2 α λυκειου
Για το πρόβλημα 2 της α λυκείου.
Ρ1= α²+ αβ ρ2= β²+αβ
Ψαχνουμε τις εξισωσεις για τις οποιες ρ1 × ρ2= 8(ρ1+ρ2) δηλαδη απο τυπους vieta
P=8S
Ρ1×ρ2= α³β+2α²β²+αβ³= αβ (α+β)²
Ρ1 + ρ2= α²+2αβ+β² = (α+β)²

Αρα θέλουμε αβ (α+β)²= 8 (α+β)²
Ετσι αφου αβ ομοσημοι θετικοι ακεραιοι προκύπτει ότι αβ=8
Η εξισωση σε γενικη μορφη ειναι x²-Sx+P=0 δηλαδή x²-(α+β)²x+ 8(α+β)²
Αφου αβ=8 και αβ θετικοι ακεραιοι με α<β τοτε παίρνουμε περιπτώσεις
Για α=1 και β=8
Εχουμε x²-81x+648
Και για α=2 και β=4
Εχουμε x²-36x+288