Συστηματακι

komi · #1

Να επιλυθεί το σύστημα εξισώσεων στους πραγματικούς:

$\displaystyle{x \left( {1 + \sqrt y } \right) = y \left( {1 + \sqrt z } \right) = z \left( {1 + \sqrt x } \right)}$

#2

komi έγραψε:Να επιλυθεί το σύστημα εξισώσεων στους πραγματικούς:

$\displaystyle{x \cdot \left( {1 + \sqrt y } \right) = y \cdot \left( {1 + \sqrt z } \right) = z \cdot \left( {1 + \sqrt x } \right)}$

Μια λύση είναι η $\displaystyle{(0,0,0)}$ και είναι προφανώς η μοναδική με $\displaystyle{xyz=0.}$

Έστω τώρα $\displaystyle{xyz \ne 0 }$ .

Το σύστημα γράφεται ως

$\displaystyle{\frac{x}{y}=\frac{1+\sqrt{z}}{1+\sqrt{y}},}$ (1)

$\displaystyle{\frac{y}{z}=\frac{1+\sqrt{x}}{1+\sqrt{z}},}$ (2)

$\displaystyle{\frac{z}{x}=\frac{1+\sqrt{y}}{1+\sqrt{x}}}$ (3)

Αν υποθέσουμε, ότι είναι $\displaystyle{x\geq y}$ , από την (1) βρίσκουμε $\displaystyle{z\geq y}$ , οπότε από την (2) $\displaystyle{z\geq x}$ και από την (3) $\displaystyle{y\geq x.}$ Δηλαδή τελικά $\displaystyle{x=y=z.}$

Προφανώς, όλες οι τριάδες $\displaystyle{(x,x,x)}$ με $\displaystyle{x\geq 0}$ είναι λύσεις του συστήματος.

Συστηματακι

Συστηματακι

Re: Συστηματακι

Μέλη σε σύνδεση