Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Άβαταρ μέλους
Soteris
Δημοσιεύσεις: 454
Εγγραφή: Δευ Ιούλ 21, 2014 1:59 pm
Τοποθεσία: Λάρνακα, Κύπρος

Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Soteris » Σάβ Απρ 20, 2019 12:25 pm

Πρόβλημα 1

(α) Αν \displaystyle{x} είναι θετικός πραγματικός αριθμός, να αποδείξετε ότι:
\displaystyle{\dfrac{x^{12}-1}{4}\geqslant \dfrac{x^3-1}{x}}

(β) Αν \displaystyle{a, b} είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί, να αποδείξετε ότι:
\displaystyle{\dfrac{a^{12}+b^{12}}{4}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{a}\geqslant a^2+b^2+\dfrac{1}{2}}

Πρόβλημα 2

Δίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο \displaystyle{ABCD}, όπου \displaystyle{AB>2BC}. Πάνω στην πλευρά του \displaystyle{AB} παίρνουμε σημείο \displaystyle{M}, τέτοιο ώστε \displaystyle{AM=BC} και πάνω στην ημιευθεία \displaystyle{CB} σημείο \displaystyle{N}, τέτοιο ώστε \displaystyle{CN=MB}. Από το σημείο \displaystyle{A} φέρουμε παράλληλη προς την \displaystyle{CM}, η οποία τέμνει την ευθεία \displaystyle{DC} στο σημείο \displaystyle{P}. Ονομάζουμε \displaystyle{K} το σημείο τομής των ευθειών \displaystyle{CM} και \displaystyle{AN}. Να αποδείξετε ότι:

(α) \displaystyle{AP=PN}

(β) Τα σημεία \displaystyle{A, K, M} και \displaystyle{D} ανήκουν στον ίδιο κύκλο.

Πρόβλημα 3

Σε ένα τουρνουά καλαθόσφαιρας συμμετέχουν ομάδες μόνο από τη Λεμεσό και τη Λευκωσία. Οι ομάδες της Λευκωσίας είναι \displaystyle{9} περισσότερες από αυτές της Λεμεσού. Κάθε δύο ομάδες συναντήθηκαν για παιχνίδι μεταξύ τους ακριβώς μια φορά. Η νικήτρια ομάδα πήρε \displaystyle{1} πόντο, η χαμένη ομάδα \displaystyle{0} πόντους, ενώ δεν υπήρξαν ισοπαλίες. Όλες οι ομάδες από τη Λευκωσία μαζί συγκέντρωσαν \displaystyle{9} φορές περισσότερους πόντους από όλες τις ομάδες της Λεμεσού μαζί. Να βρείτε ποιος είναι ο μέγιστος δυνατός αριθμός των νικών της πιο επιτυχημένης ομάδας από τη Λεμεσό.

Πρόβλημα 4

Να βρεθούν \displaystyle{10} διαφορετικοί πρώτοι αριθμοί, οι οποίοι να διαιρούν τον αριθμό \displaystyle{A=11111^{60}-10009^{60}}.


Σωτήρης Λοϊζιάς

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12332
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Απρ 20, 2019 3:31 pm

Soteris έγραψε:
Σάβ Απρ 20, 2019 12:25 pm
Πρόβλημα 4[/color]

Να βρεθούν \displaystyle{10} διαφορετικοί πρώτοι αριθμοί, οι οποίοι να διαιρούν τον αριθμό \displaystyle{A=11111^{60}-10009^{60}}.
Εύκολα βλέπουμε ότι το a^{60}-b^{60} έχει παράγοντα το a^6-b^6=(a^2-b^2)(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2). Ο πρώτος παράγοντας δείχνει ότι
ο 11111^2-10009^2 = 23274240 διαιρεί τον δοθέντα. Με λίγο χαρτί και μολύβι (και κριτήρια διαιρετότητας) εύκολα βρίσκουμε τους πρώτους παράγοντες 2, 3, 5, 11, 19, 29. Ο τρίτος μας δίνει τον  a^2-ab+b^2= 11111^2-11111\cdot 10009 + 10009^2= 112424403 από όπου τσιμπάμε τους 7, 13, 43, 61.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9452
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Απρ 20, 2019 5:32 pm

Soteris έγραψε:
Σάβ Απρ 20, 2019 12:25 pm

Πρόβλημα 2

Δίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο \displaystyle{ABCD}, όπου \displaystyle{AB>2BC}. Πάνω στην πλευρά του \displaystyle{AB} παίρνουμε σημείο \displaystyle{M}, τέτοιο ώστε \displaystyle{AM=BC} και πάνω στην ημιευθεία \displaystyle{CB} σημείο \displaystyle{N}, τέτοιο ώστε \displaystyle{CN=MB}. Από το σημείο \displaystyle{A} φέρουμε παράλληλη προς την \displaystyle{CM}, η οποία τέμνει την ευθεία \displaystyle{DC} στο σημείο \displaystyle{P}. Ονομάζουμε \displaystyle{K} το σημείο τομής των ευθειών \displaystyle{CM} και \displaystyle{AN}. Να αποδείξετε ότι:

(α) \displaystyle{AP=PN}

(β) Τα σημεία \displaystyle{A, K, M} και \displaystyle{D} ανήκουν στον ίδιο κύκλο.
Παγκύπριος 2019 (JBMO).png
Παγκύπριος 2019 (JBMO).png (19.66 KiB) Προβλήθηκε 855 φορές
(α) Το AMCP είναι παραλληλόγραμμο, άρα AM=PC και DP=MB=CN. Οπότε τα ορθογώνια τρίγωνα ADP, CPN είναι ίσα και AP=PN.

(β) Από τη ισότητα των τριγώνων προκύπτει ότι οι γωνίες D\widehat PA, N\widehat PC είναι συμπληρωματικές, άρα A\widehat PN=90^\circ, οπότε

το τρίγωνο APN είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, δηλαδή P\widehat AK=45^\circ=N\widehat KC (ως εντός εναλλάξ). Αλλά και το ADM

είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, οπότε A\widehat DM=45^\circ=N\widehat KC που σημαίνει ότι το τετράπλευρο DAKM είναι εγγράψιμο.


Prødigy
Δημοσιεύσεις: 42
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 26, 2018 11:39 pm

Re: Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Prødigy » Σάβ Απρ 20, 2019 6:26 pm

Soteris έγραψε:
Σάβ Απρ 20, 2019 12:25 pm
Πρόβλημα 1

(α) Αν \displaystyle{x} είναι θετικός πραγματικός αριθμός, να αποδείξετε ότι:
\displaystyle{\dfrac{x^{12}-1}{4}\geqslant \dfrac{x^3-1}{x}}

(β) Αν \displaystyle{a, b} είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί, να αποδείξετε ότι:
\displaystyle{\dfrac{a^{12}+b^{12}}{4}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{a}\geqslant a^2+b^2+\dfrac{1}{2}}
Καλησπέρα.

i)\frac{(x^3-1)(x^3+1)(x^6+1)}{4}\geq \frac{x^3-1}{x}\Leftrightarrow x^1^0+x^7+x^4+x\geq 4\Leftrightarrow 4\sqrt[4]x^2^2\geq 4\Leftrightarrow x\geq 1 που αληθεύει αφού προφανώς η αρχική σχέση δεν ισχύει για x<1

Η ισότητα ισχύει για x=1
τελευταία επεξεργασία από Prødigy σε Σάβ Απρ 20, 2019 9:38 pm, έχει επεξεργασθεί 6 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 772
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Σάβ Απρ 20, 2019 6:28 pm

Soteris έγραψε:
Σάβ Απρ 20, 2019 12:25 pm
Πρόβλημα 1

(α) Αν \displaystyle{x} είναι θετικός πραγματικός αριθμός, να αποδείξετε ότι:
\displaystyle{\dfrac{x^{12}-1}{4}\geqslant \dfrac{x^3-1}{x}}

(β) Αν \displaystyle{a, b} είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί, να αποδείξετε ότι:
\displaystyle{\dfrac{a^{12}+b^{12}}{4}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{a}\geqslant a^2+b^2+\dfrac{1}{2}}

α)

\dfrac{x^{12}-1}{4}=\dfrac{\left ( x^3-1 \right )\left ( x^3+1 \right )\left ( x^6+1 \right )}{4}

Για x>1 αρκεί x(x^3+1)(x^6+1)> 4 που ισχύει ,όμοια και για x<1
H ισότητα είναι για x=1
β)

\dfrac{a^{12}+b^{12}}{4}+\dfrac{a+b}{ab}\geq a^2+b^2+\dfrac{1}{2}

Από α αρκεί \dfrac{a^3-1}{a}+\dfrac{b^3-1}{b}+\dfrac{a+b}{ab}\geq a^2+b^2\Leftrightarrow a^3b-b+b^3a-a+a+b\geq a^3b+b^3a που ισχύει.


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1162
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Σάβ Απρ 20, 2019 7:35 pm

Soteris έγραψε:
Σάβ Απρ 20, 2019 12:25 pm
Πρόβλημα 1

(α) Αν \displaystyle{x} είναι θετικός πραγματικός αριθμός, να αποδείξετε ότι:
\displaystyle{\dfrac{x^{12}-1}{4}\geqslant \dfrac{x^3-1}{x}}
Ας δούμε άλλη μια λύση σε αυτό το πρόβλημα, εκτός πνεύματος "junior" μεν, χρήσιμη δε σε άλλα προβλήματα.

Η ανισότητα γράφεται ισοδύναμα

\displaystyle{\dfrac{x^{12}-1}{4}\geqslant \dfrac{x^3-1}{x}} \Leftrightarrow x^{13}-4x^3-x+4 \geq 0

Εξετάζουμε το πολυώνυμο \displaystyle P(x) = x^{13}-4x^3-x+4 του οποίου οι συντελεστές 1, -4, -1, 4, κατά φθίνουσα σειρά δυνάμεων, αλλάζουν πρόσημο δυο φορές. Άρα από το κανόνα των προσήμων του Descartes το P(x) θα έχει το πολύ δυο θετικές ρίζες

Παρατηρούμε ότι το 1 είναι ρίζα του P(x). Επίσης, P^{\prime}(x) = 13x^{12}-12x^2-1 και P^{\prime}(1)=0. Επόμενως το 1 είναι διπλή ρίζα του πολυωνύμου. Οπότε σύμφωνα με το παραπάνω κανόνα άλλες θετικές ρίζες δεν υπάρχουν.

Διαλέγοντας κάποια θετική τιμή, π.χ. το 2 παρατηρούμε ότι P(2) > 0 και εφόσον δεν υπάρχουν άλλες ρίζες πέραν του 1 θα διατηρείται το πρόσημο. Τελικά έχουμε P(x) > 0, με την ισότητα μόνο για x=1.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12332
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Απρ 20, 2019 7:58 pm

Prodigy, εύγε που ασχολήθηκες αλλά κάτι δεν καταλαβαίνω εδώ:
Prødigy έγραψε:
Σάβ Απρ 20, 2019 6:26 pm

i)\frac{(x^3-1)(x^3+1)(x^6+1)}{4}\geq \frac{x^3-1}{x}\Leftrightarrow (x^3+1)^2 x\geq 4
Μπορείς να εξηγήσεις; Επίσης δεν καταλαβαίνω τον συλλογισμό
Prødigy έγραψε:
Σάβ Απρ 20, 2019 6:26 pm

Άρα x^4-1\geq 0\Leftrightarrow (x-1)(x+1)(x^2+1)\geq 0 που αληθεύει αφού προφανώς η αρχική σχέση δεν ισχύει για x<1
Αν δεν ισχύει, τότε τι πάμε να αποδείξουμε;


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8470
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Κυρ Απρ 21, 2019 11:19 am

Για την 4 μπορούμε επίσης να χρησιμοποιήσουμε ότι ο 11111-10009 = 2 \cdot 19 \cdot 29 διαιρεί τον A. Επίσης από μικρό θεώρημα Fermat έχουμε ότι 11111^{60} \equiv 1 \bmod p και 10009^{60} \equiv 1 \bmod p για p=3,5,7,11,13,31,61. (Πρέπει να ελεγχθεί ότι οι 10009 και 11111 δεν διαιρούνται με κανένα από αυτούς τους πρώτους.)

Η διαφορά μου με την απάντηση του Μιχάλη είναι ότι έχω τον 31 αντί του 43.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8470
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Κυρ Απρ 21, 2019 11:41 am

Al.Koutsouridis έγραψε:
Σάβ Απρ 20, 2019 7:35 pm
Soteris έγραψε:
Σάβ Απρ 20, 2019 12:25 pm
Πρόβλημα 1

(α) Αν \displaystyle{x} είναι θετικός πραγματικός αριθμός, να αποδείξετε ότι:
\displaystyle{\dfrac{x^{12}-1}{4}\geqslant \dfrac{x^3-1}{x}}
Ας δούμε άλλη μια λύση σε αυτό το πρόβλημα, εκτός πνεύματος "junior" μεν, χρήσιμη δε σε άλλα προβλήματα.

Η ανισότητα γράφεται ισοδύναμα

\displaystyle{\dfrac{x^{12}-1}{4}\geqslant \dfrac{x^3-1}{x}} \Leftrightarrow x^{13}-4x^3-x+4 \geq 0

Το οποίο θα μπορούσαμε να παραγοντοποιήσουμε ως:

\displaystyle  (x-1)^2(x^{11} + 2x^{10}+3x^{9} + 4x^8 + 5x^7+6x^6 + 7x^5+8x^4+9x^3+10x^2+7x+4)

που προφανώς είναι μη αρνητικό.


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1627
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Κυρ Απρ 21, 2019 1:29 pm

Soteris έγραψε:
Σάβ Απρ 20, 2019 12:25 pm


Πρόβλημα 3

Σε ένα τουρνουά καλαθόσφαιρας συμμετέχουν ομάδες μόνο από τη Λεμεσό και τη Λευκωσία. Οι ομάδες της Λευκωσίας είναι \displaystyle{9} περισσότερες από αυτές της Λεμεσού. Κάθε δύο ομάδες συναντήθηκαν για παιχνίδι μεταξύ τους ακριβώς μια φορά. Η νικήτρια ομάδα πήρε \displaystyle{1} πόντο, η χαμένη ομάδα \displaystyle{0} πόντους, ενώ δεν υπήρξαν ισοπαλίες. Όλες οι ομάδες από τη Λευκωσία μαζί συγκέντρωσαν \displaystyle{9} φορές περισσότερους πόντους από όλες τις ομάδες της Λεμεσού μαζί. Να βρείτε ποιος είναι ο μέγιστος δυνατός αριθμός των νικών της πιο επιτυχημένης ομάδας από τη Λεμεσό.
Έστω x οι ομάδες της Λεμεσού, x+9 της Λευκωσίας. Έστω ακόμη, m οι πόντοι των ομάδων της Λεμεσού, και 9m οι πόντοι των ομάδων της Λευκωσίας.

Συνολικά, παίχτηκαν \displaystyle \binom{2x+9}{2}=2x^2+17x+36 παιχνίδια, οπότε οι συνολικοί πόντοι είναι 2x^2+17x+36.

Συνεπώς, 10m=2x^2+17x+36 \Rightarrow 10 \mid (2x^2+17x+36) \Rightarrow 10 \mid 2x^2+7x+6 \Rightarrow 10 \mid (x+2)(2x+3).

Ο 2x+3 είναι περιττός, οπότε x+2 \equiv 0 \pmod 2 \Rightarrow x=2m, οπότε 5 \mid (m+1)(4m+3).

Επομένως, m \equiv 3,4 \pmod 5, και άρα x \equiv 6,8 \pmod {10}.

Στα μεταξύ τους παιχνίδια, οι ομάδες της Λεμεσού συγκέντρωσαν \displaystyle \binom{x}{2}=\dfrac{x^2-x}{2} πόντους, άρα m \geqslant \dfrac{x^2-x}{2} \Rightarrow \dfrac{2x^2+17x+36}{10} \geqslant \dfrac{x^2-x}{2} \Rightarrow 6x^2-44x-72 \leq 0 \Rightarrow x \leqslant 8.

Όμως, x \equiv 6,8 \pmod {10} \Rightarrow x \in \{6, 8 \}.

Αν x=6, τότε οι ομάδες της Λευκωσίας είναι 15, και συγκέντρωσαν 189 πόντους, ενώ της Λεμεσού είναι 6, συγκεντρώνοντας 21 πόντους.

Στα μεταξύ τους παιχνίδια, οι ομάδες της Λεμεσού συγκέντρωσαν \displaystyle \binom{6}{2}=15 πόντους, οπότε στα παιχνίδια με ομάδες της Λευκωσίας, συγκέντρωσαν 6 πόντους.

Προφανώς, η πιο επιτυχημένη ομάδα της Λεμεσού, είναι η ομάδα με τις πιο πολλές νίκες (αφού δεν υπάρχει ισοπαλία, και η ήττα δεν δίνει πόντο), οπότε ο μέγιστος αριθμός νικών που μπορεί να επιτύχει ομάδα της Λεμεσού είναι 6+5=11 (αν η συγκεκριμένη ομάδα νικήσει τις 6 ομάδες της Λευκωσίας και όλες τις ομάδες της Λεμεσού).

Αν x=8, όμοια παίρνουμε σαν μέγιστο αριθμό νικών τις 9.

Τελικά, η απάντηση είναι 11 νίκες, και είναι εύκολο να κατασκευαστεί κατάλληλο παράδειγμα.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης