Τεστ Εξάσκησης (2), Μικροί

#1

ΘΕΜΑ 1
Οι αριθμοί a, b

και

είναι διαφορετικοί ανά δύο και ισχύει a + b + c = 0.

Να βρείτε την τιμή της παράστασης

$\displaystyle{P =\frac{a^2}{2a^2 + bc}+\frac{b^2}{2b^2 + ca}+\frac{c^2}{2c^2 + ab}.}$

ΘΕΜΑ 2
Να βρείτε όλους τους θετικούς ακεραίους

των οποίων το γινόμενο των ψηφίων ισούται με n^2 − 15n − 27.

ΘΕΜΑ 3
Τα ύψη

και

οξυγωνίου τριγώνου ABC

τέμνονται στο

Έστω $P\ne E$ το σημείο επαφής του κύκλου κέντρου

και ακτίνας

με την εφαπτόμενη ευθεία σε αυτόν που περνά από το σημείο

και $Q\ne E$ το σημείο επαφής του κύκλου κέντρου

και ακτίνας

με την εφαπτόμενη ευθεία σε αυτόν που περνά από το σημείο

Να αποδείξετε ότι τα σημεία D, P

και

είναι συνευθειακά.

ΘΕΜΑ 4
Να προσδιορίσετε το πλήθος των διατεταγμένων οκτάδων $(\epsilon_1, \epsilon_2, ... , \epsilon_8)$ με $\epsilon_1,\epsilon_2, ..., \epsilon_8 \in \{1,−1\}$ για τις οποίες ο αριθμός

$\displaystyle{\epsilon_1 + 2\epsilon_2 + 3\epsilon_3 +...+ 8\epsilon_8}$

είναι πολλαπλάσιο του

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

socrates έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 25, 2020 1:26 am
ΘΕΜΑ 1
Οι αριθμοί και είναι διαφορετικοί ανά δύο και ισχύει Να βρείτε την τιμή της παράστασης

$\displaystyle{P =\frac{a^2}{2a^2 + bc}+\frac{b^2}{2b^2 + ca}+\frac{c^2}{2c^2 + ab}.}$

Θέτοντας τιμές στα a,b,c

(π.χ

) βλέπουμε πως P=1

.Θα δείξω λοιπόν πως P=1

.
Αν

τότε αφού ανά δύο διαφορετικοί έστω a=0

, τότε είναι $P=0+\dfrac{b^2}{2b^2}+\dfrac{c^2}{2c^2}=1$
Έστω $abc\neq 0$ .Θα είναι : $\displaystyle{P=\dfrac{\sum a^2\left (2b^2+ac \right )\left ( 2c^2+ab \right )}{\prod (2a^2+bc)}}$
Αρκεί
$\displaystyle {\sum a^2\left (2b^2+ac \right )\left ( 2c^2+ab \right )=\prod \left ( 2a^2+bc \right )\Leftrightarrow 12a^2b^2c^2+4\sum a^3b^3+\sum a^4bc=9a^2b^2c^2+4\sum a^3b^3+2\sum a^4bc\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow 3a^2b^2c^2=abc(a^3+b^3+c^3) \overset{abc\neq 0}{\Leftrightarrow }a^3+b^3+c^3=3abc}$
που ισχύει αφού a+b+c=0

Δηλαδή $\boxed{P=1}$

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #3

socrates έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 25, 2020 1:26 am

ΘΕΜΑ 2
Να βρείτε όλους τους θετικούς ακεραίους των οποίων το γινόμενο των ψηφίων ισούται με

Μελετώντας την f(x)=x^2-15x-27

βλέπουμε πως για να είναι θετικός αριθμός πρέπει $x\geq 17$ (

ακέραιος) και φυσικά στο $[17,\infty)$ θα είναι αύξουσα.Συμβολίζω με P(n)

το γινόμενο των ψηφίων του

.
Αρχικά παρατηρούμε πως αν $n\equiv 0(\mod2)$ τότε θα είναι $P(n)\equiv 0(\mod2)$ (αφού το τελευταίο ψηφίο είναι άρτιος .Τότε όμως $n^2-15n-27\equiv 1(\mod2)$ άρα ο

είναι περιττός.
Έστω $10^{k-1}< n< 10^k$ .Προφανώς $P(n)_{max}=9^k$ .Αφού f(x)

αύξουσα (στα διαστήματα που μελετάμε) θα είναι $P(n)=n^2-15n-27> 10^{2k-2}-15\cdot 10^{k-1}-27$ .
Θα δείξω πως για k>2

είναι $10^{2k-2}-15\cdot 10^{k-1}-27> 9^k$
Ελέγχουμε ότι πράγματι ισχύει για k=3

.Αν ισχύει για

θα δείξουμε πως ισχύει και για l+1

. $10^{2l-2}-15\cdot 10^{l-1}-27 >9^l\Leftrightarrow 9\cdot 10^{2l-2}-9\cdot 15\cdot 10^{l-1}-27> 9^{l+1}$
Αρκεί
$9\cdot 10^{2l-2}-9\cdot 15\cdot 10^{l-1}-27< 10^{2l}-15\cdot 10^l-27\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow 9\cdot 10^l-1350< 10^{l+2}-15\Leftrightarrow 81\cdot 10^l> 1500-1350=150$
που ισχύει εύκολα.

Από τα παραπάνω έπεται ότι k=2

.Οπότε $P(n)_{max}=81$ .Για n>20

βλέπουμε πως P(n)>81

.Οπότε μας μένει να ελέγξουμε τις n=17,n=19

από τις οποίες δεκτή η n=17

.

Άρα

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #4

socrates έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 25, 2020 1:26 am

ΘΕΜΑ 3
Τα ύψη και οξυγωνίου τριγώνου τέμνονται στο Έστω $P\ne E$ το σημείο επαφής του κύκλου κέντρου και ακτίνας με την εφαπτόμενη ευθεία σε αυτόν που περνά από το σημείο και $Q\ne E$ το σημείο επαφής του κύκλου κέντρου και ακτίνας με την εφαπτόμενη ευθεία σε αυτόν που περνά από το σημείο Να αποδείξετε ότι τα σημεία και είναι συνευθειακά.

: 236.PNG (40.8 KiB) Προβλήθηκε 1645 φορές

Αρκεί $\angle EQD=\angle EQP$
Είναι CQ=CE=CP

άρα $\angle EQP=\dfrac{\angle ECP}{2}=\angle ECH=90^{\circ}-\angle A$ και τα τρίγωνα DQT,DTE

( $T\equiv BC\cap QE$ είναι ίσα άρα $\angle EQD=\angle DEQ=90^{\circ}-\angle TDE=90^{\circ}-\angle A=\angle EQP$ και το ζητούμενο έπεται.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #5

socrates έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 25, 2020 1:26 am

ΘΕΜΑ 4
Να προσδιορίσετε το πλήθος των διατεταγμένων οκτάδων $(\epsilon_1, \epsilon_2, ... , \epsilon_8)$ με $\epsilon_1,\epsilon_2, ..., \epsilon_8 \in \{1,−1\}$ για τις οποίες ο αριθμός

$\displaystyle{\epsilon_1 + 2\epsilon_2 + 3\epsilon_3 +...+ 8\epsilon_8}$

είναι πολλαπλάσιο του

Επειδή $\displaystyle{\epsilon_1 + 2\epsilon_2 + 3\epsilon_3 +...+ 8\epsilon_8}\equiv \epsilon _1-\epsilon_ 2+\epsilon _4-\epsilon _5+\epsilon _7-\epsilon _8(\mod3)$
Άρα τα $\epsilon _3,\epsilon _6$ μπορούν να επιλεγούν ανεξάρτητα και μάλιστα με $2\cdot 2=4$ διαφορετικούς τρόπου.
Πρέπει $\epsilon _1+\epsilon _4+\epsilon _7\equiv \epsilon _2+\epsilon _5+\epsilon _8(\mod3)\,\,(*)$
Έστω

το πλήθος των άσσων (χωρίς τους $\epsilon _3,\epsilon _6$ ) και

των

.
Οι δυνατές περιπτώσεις είναι:

που δίνει $-3\equiv -3(\mod3)$ που ισχύει άρα δημιουργούνται $4\cdot 1=4$ οκτάδες.

που δίνει $-1\equiv -3(\mod3)$ άτοπο

που δίνει ή i) $-1\equiv -1(\mod3)$ που ισχύει και δίνει (ένας από κάθε μέλος της (*) είναι άσσος) $3\cdot 3\cdot 4$ οκτάδες ή ii) $1\equiv -3(\mod3)$ άτοπο

που δίνει ή i) $3\equiv -3(\mod3)$ που δίνει $2\cdot 4$ οκτάδες ή ii) $1\equiv -3(\mod3)$
άτοπο.

Μέχρι στιγμής έχουμε 4+36+8=48

οκτάδες.Η υπόλοιπες περιπτώσεις είναι οι αντιστροφή του

με το

και δίνουν άλλες 36+4=40

οκτάδες ( η k=3,l=3

είναι ''αντίστοιχη'' του εαυτού της και δεν την ξαναμετράμε).
Συνολικά λοιπόν

οκτάδες.

Υ.γ Ευχαριστούμε για τις ωραίες ασκήσεις !

#6

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 25, 2020 3:05 pm

socrates έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 25, 2020 1:26 am
ΘΕΜΑ 1
Οι αριθμοί και είναι διαφορετικοί ανά δύο και ισχύει Να βρείτε την τιμή της παράστασης

$\displaystyle{P =\frac{a^2}{2a^2 + bc}+\frac{b^2}{2b^2 + ca}+\frac{c^2}{2c^2 + ab}.}$

Θέτοντας τιμές στα (π.χ ) βλέπουμε πως .Θα δείξω λοιπόν πως .
Αν τότε αφού ανά δύο διαφορετικοί έστω , τότε είναι $P=0+\dfrac{b^2}{2b^2}+\dfrac{c^2}{2c^2}=1$
Έστω $abc\neq 0$ .Θα είναι : $\displaystyle{P=\dfrac{\sum a^2\left (2b^2+ac \right )\left ( 2c^2+ab \right )}{\prod (2a^2+bc)}}$
Αρκεί
$\displaystyle {\sum a^2\left (2b^2+ac \right )\left ( 2c^2+ab \right )=\prod \left ( 2a^2+bc \right )\Leftrightarrow 12a^2b^2c^2+4\sum a^3b^3+\sum a^4bc=9a^2b^2c^2+4\sum a^3b^3+2\sum a^4bc\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow 3a^2b^2c^2=abc(a^3+b^3+c^3) \overset{abc\neq 0}{\Leftrightarrow }a^3+b^3+c^3=3abc}$
που ισχύει αφού

Δηλαδή $\boxed{P=1}$

Ωραία!
Άλλος τρόπος: 2a^2 + bc=(a-b)(a-c)

κτλ και μετά ομώνυμα...

#7

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 25, 2020 3:37 pm

socrates έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 25, 2020 1:26 am

ΘΕΜΑ 2
Να βρείτε όλους τους θετικούς ακεραίους των οποίων το γινόμενο των ψηφίων ισούται με

Μελετώντας την βλέπουμε πως για να είναι θετικός αριθμός πρέπει $x\geq 17$ ( ακέραιος) και φυσικά στο $[17,\infty)$ θα είναι αύξουσα.Συμβολίζω με το γινόμενο των ψηφίων του .
Αρχικά παρατηρούμε πως αν $n\equiv 0(\mod2)$ τότε θα είναι $P(n)\equiv 0(\mod2)$ (αφού το τελευταίο ψηφίο είναι άρτιος .Τότε όμως $n^2-15n-27\equiv 1(\mod2)$ άρα ο είναι περιττός.
Έστω $10^{k-1}< n< 10^k$ .Προφανώς $P(n)_{max}=9^k$ .Αφού αύξουσα (στα διαστήματα που μελετάμε) θα είναι $P(n)=n^2-15n-27> 10^{2k-2}-15\cdot 10^{k-1}-27$ .
Θα δείξω πως για είναι $10^{2k-2}-15\cdot 10^{k-1}-27> 9^k$
Ελέγχουμε ότι πράγματι ισχύει για .Αν ισχύει για θα δείξουμε πως ισχύει και για . $10^{2l-2}-15\cdot 10^{l-1}-27 >9^l\Leftrightarrow 9\cdot 10^{2l-2}-9\cdot 15\cdot 10^{l-1}-27> 9^{l+1}$
Αρκεί
$9\cdot 10^{2l-2}-9\cdot 15\cdot 10^{l-1}-27< 10^{2l}-15\cdot 10^l-27\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow 9\cdot 10^l-1350< 10^{l+2}-15\Leftrightarrow 81\cdot 10^l> 1500-1350=150$
που ισχύει εύκολα.

Από τα παραπάνω έπεται ότι .Οπότε $P(n)_{max}=81$ .Για βλέπουμε πως .Οπότε μας μένει να ελέγξουμε τις από τις οποίες δεκτή η .

Άρα

Ωραία!
Αλλιώς: ισχύει ότι $P(n)\leq n$ (γιατί;) οπότε εύκολα $n\leq 18.$

#8

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 25, 2020 4:23 pm
....
Υ.γ Ευχαριστούμε για τις ωραίες ασκήσεις !

Έρχονται κι άλλες!!

Fotis34 · #9

Θέμα 2:
Μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι : P(n)≤ n ( γιατί το γινόμενο των ψηφίων δεν ξεπερνά το ίδιο το n ). Επομένως έχουμε
n²-15n-27≤n, το οποίο γράφετε, n²-16n-27≤0 παίρνοντας την αντίστοιχη εξίσωση n²-16n-27=0, η οποία έχει ρίζες
a) n= 17,539 b) n= -1,539, επειδή θέλουμε ≤0 κάνοντας το πινακάκι προσήμου έχουμε ότι :
-1,539≤n≤17,539 επειδή μιλάμε για θετικούς ακέραιους, έχουμε:
0<n≤17 και ελέγχοντας περιπτώσεις παίρνουμε μόνο για n=17.

#10

Fotis34 έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 02, 2025 10:31 pm
Θέμα 2:
Μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι : P(n)≤ n ( γιατί το γινόμενο των ψηφίων δεν ξεπερνά το ίδιο το n ). Επομένως έχουμε
n²-15n-27≤n, το οποίο γράφετε, n²-16n-27≤0 παίρνοντας την αντίστοιχη εξίσωση n²-16n-27=0, η οποία έχει ρίζες
a) n= 17,539 b) n= -1,539, επειδή θέλουμε ≤0 κάνοντας το πινακάκι προσήμου έχουμε ότι :
-1,539≤n≤17,539 επειδή μιλάμε για θετικούς ακέραιους, έχουμε:
0<n≤17 και ελέγχοντας περιπτώσεις παίρνουμε μόνο για n=17.

Φώτη, δες σε παρακαλώ το μήνυμα που σου έγραψα στο ποστ #8 εδώ

Fotis34 · #11

Μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι $P(n)\le n$ (γιατί το γινόμενο των ψηφίων δεν ξεπερνά το ίδιο το

).
Επομένως έχουμε:
$\displaystyle n^2 - 15n - 27 \le n,$
το οποίο γράφεται:
$\displaystyle n^2 - 16n - 27 \le 0.$

Λύνουμε πρώτα την αντίστοιχη εξίσωση:
$\displaystyle n^2 - 16n - 27 = 0.$

Οι ρίζες της είναι:
$\displaystyle n = 17.539\ldots \quad\text{και}\quad n = -1.539\ldots$

Επειδή η παράσταση

είναι παραβολή με θετικό συντελεστή στο n^2

, το διάστημα στο οποίο ισχύει
$\displaystyle n^2 - 16n - 27 \le 0$
είναι:
$\displaystyle -1.539\ldots \le n \le 17.539\ldots$

Επειδή μιλάμε για θετικούς ακέραιους:
$\displaystyle 0 < n \le 17.$

Ελέγχοντας τις περιπτώσεις, βρίσκουμε ότι η μόνη τιμή που ικανοποιεί την αρχική συνθήκη είναι:
$\displaystyle n = 17.$

Τεστ Εξάσκησης (2), Μικροί

Τεστ Εξάσκησης (2), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (2), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (2), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (2), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (2), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (2), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (2), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (2), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (2), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (2), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (2), Μικροί

Μέλη σε σύνδεση