Τεστ Εξάσκησης (14), Μικροί

#1

ΘΕΜΑ 1
Να βρείτε όλες τις τριάδες θετικών ακεραίων (a, b, c)

για τις οποίες υπάρχει ορθογώνιο τρίγωνο με μήκη πλευρών a, b

και

και εμβαδόν αριθμητικά ίσο με a + b + c.

ΘΕΜΑ 2
Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ABC

με

και σημεία

και

των πλευρών

και

αντίστοιχα, διάφορα των A,B,C,

τέτοια ώστε AP = CQ.

Να δείξετε ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου APQ

διέρχεται από το περίκεντρο του τριγώνου ABC.

ΘΕΜΑ 3
Ο καθένας εκ δέκα ατόμων είναι είτε ευγενής και λέει πάντα την αλήθεια, είτε ψεύτης και λέει πάντα ψέματα. Ο καθένας τους σκέφτηκε κάποιο αριθμό (όχι απαραίτητα ακέραιο). Ύστερα ο πρώτος είπε: «Ο αριθμός μου είναι μεγαλύτερος του 1», ο δεύτερος είπε: «Ο αριθμός μου είναι μεγαλύτερος του 2», …, ο δέκατος είπε: «Ο αριθμός μου είναι μεγαλύτερος του 10». Μετά από αυτό και οι δέκα τους, αναφώνησαν με κάποια σειρά: «Ο αριθμός μου είναι μικρότερος του 1», «Ο αριθμός μου είναι μικρότερος του 2», …, «Ο αριθμός μου είναι μικρότερος του 10» (ο καθένας τους είπε μία από αυτές τις φράσεις). Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός ευγενών που μπορεί να υπάρχουν μεταξύ αυτών των 10 ατόμων;
(Από εδώ: https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=58&t=63964)

ΘΕΜΑ 4
Να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή της παράστασης x + y,

όπου

και

πραγματικοί αριθμοί με $x \geq −2, y\geq −3$ και
$\displaystyle{x − 2\sqrt{x + 2} = 2\sqrt{y + 3} − y.}$

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

socrates έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 03, 2020 2:42 pm
ΘΕΜΑ 2
Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο με και σημεία και των πλευρών και αντίστοιχα, διάφορα των τέτοια ώστε Να δείξετε ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου διέρχεται από το περίκεντρο του τριγώνου

: 252.PNG (25.29 KiB) Προβλήθηκε 1089 φορές

Επειδή

και

θα είναι

άρα $PB\cdot PA=QC\cdot QA$ .Τα P,Q

έχουν ίσες δυνάμεις ως προς τον (A,B,C)

άρα

δηλαδή η τομή της μεσοκάθετης του

με την διχοτόμο της $\angle A$ είναι το περίκεντρο του ABC

.Αν

το σημείο τομής του (A,P,Q)

με την διχοτόμο της $\angle A$ τότε προφανώς OP=OQ

άρα

το περίκεντρο του ABC

και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #3

socrates έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 03, 2020 2:42 pm
ΘΕΜΑ 1
Να βρείτε όλες τις τριάδες θετικών ακεραίων για τις οποίες υπάρχει ορθογώνιο τρίγωνο με μήκη πλευρών και και εμβαδόν αριθμητικά ίσο με

Έστω

η υποτείνουσα του τριγώνου οπότε θα πρέπει $\left\{\begin{matrix} &a^2=b^2+c^2 & \\ & bc=2(a+b+c) & \end{matrix}\right.$ .
Από την τριγωνική ανισότητα θα είναι a<b+c

άρα $bc=2(a+b+c)< 4(b+c)\Leftrightarrow bc<4(b+c)\Leftrightarrow \dfrac{1}{4}<\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$
Έστω χωρίς βλάβη ότι b> c

(η ισότητα δεν μπορεί να ισχύει γιατί τότε a^2=2b^2

που είναι άτοπο αφού το

δεν είναι τέλειο τετράγωνο) .Αν $c\geq 8$ τότε $\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\leq \dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{9}< \dfrac{1}{4}$ άτοπο.
Παίρνοντας τις περιπτώσεις c=7,6,..1

από την $a^2-b^2=\left ( a-b \right )\left ( a+b \right )=c^2$ κρατάμε τις λύσεις (a,b,c)=(10,8,6),(13,12,5)

που ικανοποιούν και την bc=2(a+b+c)

.

#4

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 03, 2020 5:56 pm

socrates έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 03, 2020 2:42 pm
ΘΕΜΑ 1
Να βρείτε όλες τις τριάδες θετικών ακεραίων για τις οποίες υπάρχει ορθογώνιο τρίγωνο με μήκη πλευρών και και εμβαδόν αριθμητικά ίσο με
Έστω η υποτείνουσα του τριγώνου οπότε θα πρέπει $\left\{\begin{matrix} &a^2=b^2+c^2 & \\ & bc=2(a+b+c) & \end{matrix}\right.$ .
Από την τριγωνική ανισότητα θα είναι άρα $bc=2(a+b+c)< 4(b+c)\Leftrightarrow bc<4(b+c)\Leftrightarrow \dfrac{1}{4}<\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$
Έστω χωρίς βλάβη ότι (η ισότητα δεν μπορεί να ισχύει γιατί τότε που είναι άτοπο αφού το δεν είναι τέλειο τετράγωνο) .Αν $c\geq 8$ τότε $\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\leq \dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{9}< \dfrac{1}{4}$ άτοπο.
Παίρνοντας τις περιπτώσεις από την $a^2-b^2=\left ( a-b \right )\left ( a+b \right )=c^2$ κρατάμε τις λύσεις που ικανοποιούν και την .

Ωραία!

Αλλιώς:
$a^2=b^2+c^2 \iff 2bc=(b+c+a)(b+c-a) \\ \iff b+c-a=4 \iff (b+c-4)^2=a^2 \\ \iff b^2+c^2+16+2bc-8b-8c=b^2+c^2 \iff bc-4b-4c+8=0 \\ \iff (b-4)(c-4)=8...$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

socrates έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 03, 2020 2:42 pm
ΘΕΜΑ 4
Να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή της παράστασης όπου και πραγματικοί αριθμοί με $x \geq −2, y\geq −3$ και
$\displaystyle{x − 2\sqrt{x + 2} = 2\sqrt{y + 3} − y.}$

Η δοθείσα γράφεται
$\displaystyle x +y = 2(\sqrt{x + 2} + \sqrt{y + 3})$
Χρησιμοποιώντας την
$(a+b)^{2}\leq 2(a^{2}+b^{2})$
παίρνουμε ότι
$\displaystyle (x+y)^{2}-8(x+y)-40\leq 0$
που γίνεται
$\displaystyle (x+y-4)^{2}\leq 56$
Από την τελευταία παίρνω
$\displaystyle 4-\sqrt{56}\leq x+y\leq 4+\sqrt{56}$
Τα φράγματα είναι το μέγιστο και ελάχιστο.
Το δεξί το πιάνει για
$\displaystyle y=\frac{6+2\sqrt{56}}{4},x=y+1$
ενώ το αριστερό για
$\displaystyle y=\frac{6-2\sqrt{56}}{4},x=y+1$

#6

socrates έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 03, 2020 2:42 pm
ΘΕΜΑ 3
Ο καθένας εκ δέκα ατόμων είναι είτε ευγενής και λέει πάντα την αλήθεια, είτε ψεύτης και λέει πάντα ψέματα. Ο καθένας τους σκέφτηκε κάποιο αριθμό (όχι απαραίτητα ακέραιο). Ύστερα ο πρώτος είπε: «Ο αριθμός μου είναι μεγαλύτερος του 1», ο δεύτερος είπε: «Ο αριθμός μου είναι μεγαλύτερος του 2», …, ο δέκατος είπε: «Ο αριθμός μου είναι μεγαλύτερος του 10». Μετά από αυτό και οι δέκα τους, αναφώνησαν με κάποια σειρά: «Ο αριθμός μου είναι μικρότερος του 1», «Ο αριθμός μου είναι μικρότερος του 2», …, «Ο αριθμός μου είναι μικρότερος του 10» (ο καθένας τους είπε μία από αυτές τις φράσεις). Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός ευγενών που μπορεί να υπάρχουν μεταξύ αυτών των 10 ατόμων;
(Από εδώ: https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=58&t=63964)

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Ορέστης Λιγνός · #7

socrates έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 03, 2020 2:42 pm
ΘΕΜΑ 3
Ο καθένας εκ δέκα ατόμων είναι είτε ευγενής και λέει πάντα την αλήθεια, είτε ψεύτης και λέει πάντα ψέματα. Ο καθένας τους σκέφτηκε κάποιο αριθμό (όχι απαραίτητα ακέραιο). Ύστερα ο πρώτος είπε: «Ο αριθμός μου είναι μεγαλύτερος του 1», ο δεύτερος είπε: «Ο αριθμός μου είναι μεγαλύτερος του 2», …, ο δέκατος είπε: «Ο αριθμός μου είναι μεγαλύτερος του 10». Μετά από αυτό και οι δέκα τους, αναφώνησαν με κάποια σειρά: «Ο αριθμός μου είναι μικρότερος του 1», «Ο αριθμός μου είναι μικρότερος του 2», …, «Ο αριθμός μου είναι μικρότερος του 10» (ο καθένας τους είπε μία από αυτές τις φράσεις). Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός ευγενών που μπορεί να υπάρχουν μεταξύ αυτών των 10 ατόμων;
(Από εδώ: viewtopic.php?f=58&t=63964)

Αυτός που είπε ότι ο αριθμός του είναι μεγαλύτερος του

είναι σίγουρα ψεύτης (πράγματι, σε αντίθετη περίπτωση δεν θα μπορούσε να πει καμία από τις φράσεις "ο αριθμός μου είναι μικρότερος του ...'' χωρίς να ψεύδεται).

Άρα έχω το πολύ

ευγενείς. Ένα παράδειγμα που δείχνει ότι μπορώ να έχω

ευγενείς:

Ο

-οστός ευγενής σκέφτεται έναν αριθμό μεταξύ

και

, και λέει τις προτάσεις ''Ο αριθμός μου είναι μεγαλύτερος του

'' και ''Ο αριθμός μου είναι μικρότερος του i+1

'' για κάθε $i \in \{1,2, \ldots , 9 \}$ .

Το δέκατο άτομο, ο μοναδικός ψεύτης, σκέφτεται αριθμό μεταξύ

και

, και λέει τις προτάσεις ''Ο αριθμός μου είναι μεγαλύτερος του

'' και ''Ο αριθμός μου είναι μικρότερος του

''.

Τεστ Εξάσκησης (14), Μικροί

Τεστ Εξάσκησης (14), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (14), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (14), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (14), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (14), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (14), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (14), Μικροί

Μέλη σε σύνδεση