Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2023 (τάξη 10η, μέρα 1η)

[Al.Koutsouridis]

XLIX Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα
Εκπαιδευτικό κέντρο «Σείριος», Σότσι 21-27 Απριλίου 2023
Θέματα της πρώτης μέρας για την 10η τάξη.

1. Οι ευθείες, που περιέχουν τις πλευρές ενός δοθέντος οξυγώνιου τριγώνου , χρωματίστηκαν με κόκκινο, πράσινο, και μπλε χρώμα. Ύστερα αυτές τις ευθείες τις περιστρέψαμε κατά γωνία κατά την φορά των δεικτών του ρολογιού γύρω από το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου (οι ευθεία διατηρεί το χρώμα της μετά την περιστροφή). Να αποδείξετε, ότι τα τρία σημεία τομής των ευθειών ιδίου χρώματος αποτελούν κορυφές τριγώνου, ίσου με το . (Λ. Εμελιάνοβ)

2. μαθητές έχουν μια τράπουλα καρτών, οι οποίες είναι αριθμημένες με τους αριθμούς από έως . Ο πρώτος μαθητής ανακατεύει την τράπουλα, ύστερα επιλέγει από την κορυφή της ανακατεμένης τράπουλας μια κάρτα και με κάθε επιλογή κάρτας (συμπεριλαμβανομένης της πρώτης) γράφει στον πίνακα τον αριθμητικό μέσο των αριθμών όλων των καρτών που έχει διαλέξει την δεδομένη στιγμή. Έτσι αυτός γράφει αριθμούς και όταν στην τράπουλα απομείνει μια κάρτα, τότε ξανά τοποθετεί της κάρτες στην τράπουλα, στην συνέχεια γίνεται το ίδιο, ξεκινώντας από το ανακάτεμα της τράπουλας, από τον δεύτερο μαθητή. Ύστερα ο τρίτος μαθητής, κ.ο.κ . Να αποδείξετε, ότι μεταξύ των γραμμένων στον πίνακα αριθμών θα βρεθούν δυο ίδιοι. (Α. Γκριμπάλκο)

3. Δίνονται οι φυσικοί (μη μηδενικοί) αριθμοί και τέτοιοι, ώστε . Υπάρχει άραγε πολυώνυμο βαθμού μεγαλύτερου του με συντελεστές από το σύνολο τέτοιο, ώστε ο να διαιρείται με τον ; (Τ. Κοροτσένκο)

4. Στην μια πλευρά του τραπεζιού επιτραπέζιας αντισφαίρισης σχηματίστηκε ουρά (σειρά) κοριτσιών και στην άλλη πλευρά αγοριών. Και τα κορίτσια και τα αγόρια είναι αριθμημένα με τους αριθμούς από έως με την διάταξη (σειρά) που στέκονται. Το πρώτο παιχνίδι το παίζουν το κορίτσι και το αγόρι με τον αριθμό , στην συνέχεια ο χαμένος κάθε παιχνιδιού μπαίνει στο τέλος της δικής του ουράς και ο νικητής παίζει με τον επόμενο. Μετά από κάποια χρονική διάρκεια προέκυψε, ότι κάθε κορίτσι έπαιξε ακριβώς ένα παιχνίδι με κάθε αγόρι. Να αποδείξετε, ότι αν ο είναι περιττός, τότε στο τελευταίο παιχνίδι έπαιξαν αγόρι και κορίτσι με περιττά νούμερα. (Α. Γκριμπάλκο)

[Ορέστης Λιγνός]

1. Οι ευθείες, που περιέχουν τις πλευρές ενός δοθέντος οξυγώνιου τριγώνου , χρωματίστηκαν με κόκκινο, πράσινο, και μπλε χρώμα. Ύστερα αυτές τις ευθείες τις περιστρέψαμε κατά γωνία κατά την φορά των δεικτών του ρολογιού γύρω από το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου (οι ευθεία διατηρεί το χρώμα της μετά την περιστροφή). Να αποδείξετε, ότι τα τρία σημεία τομής των ευθειών ιδίου χρώματος αποτελούν κορυφές τριγώνου, ίσου με το . (Λ. Εμελιάνοβ)

Νομίζω είναι το πρώτο πρόβλημα γεωμετρίας που βλέπω που δεν έχει ούτε μία ονομασία σημείου στην εκφώνηση!

Έστω το αρχικό τρίγωνο , και έστω , με το τρίγωνο που προκύπτει από τα σημεία τομής των ευθειών ίδιου χρώματος. Έστω τέλος το περίκεντρο του τριγώνου .

Είναι, οπότε το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο, άρα



και αφού προκύπτει ότι . Όμοια, και , οπότε προκύπτει το ζητούμενο.

[Ορέστης Λιγνός]

3. Δίνονται οι φυσικοί (μη μηδενικοί) αριθμοί και τέτοιοι, ώστε . Υπάρχει άραγε πολυώνυμο βαθμού μεγαλύτερου του με συντελεστές από το σύνολο τέτοιο, ώστε ο να διαιρείται με τον ; (Τ. Κοροτσένκο)[/size

Η απάντηση είναι όχι, αν , και ναι, για κάθε . Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:

Περίπτωση 1: . Τότε, όλοι οι συντελεστές του είναι , άρα το έχει βαθμό , άτοπο.

Περίπτωση 2: . Τότε, γράφουμε τον σε βάση . Έστω , με . Είναι συνεπώς , και εξ ορισμού . Έστω λοιπόν

.

Τότε, , και . Επιπλέον, όλοι οι εξ ορισμού είναι στοιχεία του συνόλου . Τέλος,



συνεπώς όπως δηλαδή θελαμε.