Ανοιχτή Μαθηματική Ολυμπιάδα ΦΜΛ 239 2007 (8η/9η τάξη)

[Al.Koutsouridis]

Ανοιχτή Μαθηματική Ολυμπιάδα Φυσικομαθηματικού Λυκείου 239, Αγίας Πετρούπολης
Θέματα των τάξεων 8η και 9η για το 2007.

1. Το καθένα από δυο μονικά (μεγιστοβάθμιο συντελεστή ίσο με ) δευτεροβάθμια τριώνυμα έχει από δυο ρίζες. Η ρίζα της διαφοράς αυτών των τριώνυμων είναι ίση με το ημιάθροισμα όλων των τεσσάρων ριζών αυτών των τριώνυμων. Να αποδείξετε, ότι τα αθροίσματα των τετραγώνων των ριζών αυτών των τριώνυμων είναι ίσα. (Σ. Μπέρλοβ)

2. Κάθε ακέραιος αριθμός χρωματίστηκε είτε με γαλάζιο, είτε με λευκό χρώμα, εξάλλου οι αριθμοί και χρωματίστηκαν με διαφορετικά χρώματα. Να αποδείξετε, ότι το άθροισμα κάποιων τριών αριθμών του ίδιου χρώματος θα ισούται με . (Σ. Μπέρλοβ)

3. Οι ανά δυο πρώτοι μεταξύ τους θετικοί ακέραιοι και είναι τέτοιοι, ώστε ο να διαιρείται με τον . Να αποδείξετε, ότι τότε και ο θα διαιρείται με τον . (Σ. Μπέρλοβ)

4. Το σημείο βρίσκεται στο εσωτερικό ενός οξυγώνιου τριγώνου . Να αποδείξετε ότι τα ίχνη των καθέτων από το σημείο προς τις πλευρές και ισαπέχουν από το μέσο της πλευράς αν και μόνο αν, όταν τα σημεία, συμμετρικά του ως προς το μέσο της πλευράς και της διχοτόμου της γωνίας , βρίσκονται στην ίδια ευθεία με το σημείο . (Ρ. Σαχίποβ)

5. Να αποδείξετε, ότι από οποιανδήποτε συνεκτικό γράφο με άρτιο αριθμό κορυφών μπορούμε να αφαιρέσουμε μερικές ακμές (πιθανόν και ) με τέτοιο τρόπο, ώστε στον γράφο που προκύπτει ο βαθμός κάθε κορυφής να είναι περιττός. (Σ. Μπέρλοβ)

6. Το είναι ένα κυρτό τετράπλευρο, στο οποίο και . Να αποδείξετε, ότι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου βρίσκεται πάνω στην ευθεία . (Φ. Μπαχάρεβ)

7. Για οποιονδήποτε φυσικό (μη μηδενικό) αριθμό εξετάζουμε τον αριθμό , που ισούται με το πλήθος των φυσικών αριθμών (μη μηδενικών), που δεν υπερβαίνουν τον , το άθροισμα των ψηφίων των οποίων διαιρείται με το . Να αποδείξετε, ότι υπάρχουν άπειροι φυσικοί αριθμοί , ώστε . (Σ. Μπέρλοβ. Πάνω στο μοτίβο προβλήματος των Ι. Μπογκτάνοβ, Γκ. Τσελνόκοβ)

8. Η ευθεία διέρχεται από τα μέσα δυο απέναντι πλευρών ενός κανονικού γώνου . Εξετάζουμε όλες τις συμμετρικές διαμερίσεις των κορυφών του σε μη τεμνόμενα υποσύνολα (δηλαδή αν ένα από τα υποσύνολα, τότε η εικόνα του ως προς συμμετρία προς την ευθεία , επίσης είναι ένα από τα υποσύνολα, πιθανόν και το ίδιο), για τα οποία κανένα τμήμα, που ενώνει κορυφές ενός συνόλου, δεν τέμνει κανένα από τα τμήματα, που ενώνει κορυφές οποιοδήποτε άλλου συνόλου. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ακριβώς τέτοιες διαμερίσεις. (D. Collen, L. Smiley)

[Mihalis_Lambrou]

1. Το καθένα από δυο μονικά (μεγιστοβάθμιο συντελεστή ίσο με ) δευτεροβάθμια τριώνυμα έχει από δυο ρίζες. Η ρίζα της διαφοράς αυτών των τριώνυμων είναι ίση με το ημιάθροισμα όλων των τεσσάρων ριζών αυτών των τριώνυμων. Να αποδείξετε, ότι τα αθροίσματα των τετραγώνων των ριζών αυτών των τριώνυμων είναι ίσα. (Σ. Μπέρλοβ)

Αν τα δύο τριώνυμα, η διαφορά τους έχει ρίζα . Άρα η συνθήκη για τις ρίζες, από Vieta, γράφεται , ισοδύναμα .

Πάλι από Vieta και την ταυτότητα , η ζητούμενη συνθήκη για το άθροισμα των τετραγώνων των ριζών μεταφράζεται

που αληθεύει αφού είναι ακριβώς η .