BMO 2024

[cretanman]

Καλησπέρα σε όλους τους φίλους και συναδέλφους από τη Βάρνα της Βουλγαρίας όπου διεξάγεται αυτές τις ημέρες η 41η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα.

Είμαι στην ευχάριστη θέση να σας ανακοινώσω τα παρακάτω αποτελέσματα της Ελληνικής Αποστολής

Ορέστης Λιγνός: Χρυσό Μετάλλιο

Διονύσης Πετράκης: Αργυρό Μετάλλιο

Σωκράτης Ηλιάδης: Χάλκινο Μετάλλιο

Γιάννης Γαλαμάτης: Χάλκινο Μετάλλιο

Ανδρέας Καβαλλάρης: Εύφημος Μνεία

Ανδρέας Ρασβάνης: Συμμετοχή

Θέλω να ευχηθώ θερμά συγχαρητήρια στους μαθητές μας και να ευχαριστήσω τον υπαρχηγό της αποστολής Μίνο Μαργαρίτη για την ουσιαστική του βοήθεια καθ΄όλη την διάρκεια της διοργάνωσης.

Πολλά συγχαρητήρια και στην Κυπριακή Αποστολή για τα 2 Χάλκινα Μετάλλια και τις 2 Εύφημες Μνείες που πήραν.

Παραθέτω τα θέματα του διαγωνισμού:

Πρόβλημα 1

Έστω οξυγώνιο τρίγωνο με και το σημείο τομής της διχοτόμου της γωνίας με την πλευρά . Οι συμμετρικές ευθείες των και ως προς την τέμνουν τις ευθείες και στα σημεία και αντίστοιχα. Μια ευθεία που διέρχεται από το τέμνει τις ευθείες και στα σημεία και αντίστοιχα, ώστε το να βρίσκεται στο εσωτερικό του τμήματος και το να βρίσκεται στο εσωτερικό του τμήματος . Να αποδείξετε ότι οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων και εφάπτονται μεταξύ τους.

Πρόβλημα 2

Έστω ακέραιοι . Να αποδείξετε ότι για κάθε πεπερασμένη ακολουθία ακεραίων , μπορούμε να επιλέξουμε μη αρνητικούς ακεραίους , που ικανοποιούν τις παρακάτω συνθήκες:
(i) για κάθε ,
(ii) όλα τα θετικά είναι διαφορετικά ανά δύο,
(iii) τα αθροίσματα για , σχηματίζουν μια μετάθεση των πρώτων όρων μιας μη σταθερής αριθμητικής προόδου.
\end{itemize}

Πρόβλημα 3

Έστω και διαφορετικοί θετικοί ακέραιοι τέτοιοι, ώστε ο να διαιρείται από τον . Να αποδείξετε ότι .

Πρόβλημα 4

Έστω το σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών. Να προσδιορίσετε τις συναρτήσεις και τα πολυώνυμα που έχουν μη αρνητικούς πραγματικούς συντελεστές με , έτσι ώστε να ισχύει για όλους τους πραγματικούς αριθμούς .

Αλέξανδρος

[kostas.zig]

Αλέξανδρε, καλό μήνα!

Πολλά συγχαρητήρια σε ΟΛΟΥΣ! ΜΠΡΑΒΟ! ΜΠΡΑΒΟ! Χαιρόμαστε και μακάρι να βλέπουμε και τέτοιες διακρίσεις!

[george visvikis]

Συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά

[Mihalis_Lambrou]

Ε Υ Γ Ε στα παιδιά.

Τα θέματα είναι πολύ δύσκολα, οπότε η εξαιρετική μαθηματική δεινότητα των παιδιών είναι πρόδηλη. Ότι και να πω είναι λίγο. ΕΥΓΕ, ΕΥΓΕ, ΕΥΓΕ.

[Dimessi]

Συγχαρητήρια, τα θέματα ήταν όντως πάρα πολύ απαιτητικά.
Το αγαπημένο μου πρόβλημα ήταν το δεύτερο, για το οποίο έχω πολύ δύσκολη λύση και τρομερά χρονοβόρα.
Ορέστη, είσαι τεράστιος Με συγχωρείτε, αλλά θεωρώ κάπως βατό μόνο το πρώτο θέμα για το επίπεδο του διαγωνισμού.
Υ.Γ1 Στην ΙΜΟ πάμε με γκολ από τα αποδυτήρια πιστεύω
Υ.Γ2 Συγχαρητήρια στον κύριο Αλέξανδρο που ήταν αρχηγός της αποστολής , καθώς και στο τεράστιο ταλέντο Μίνο Μαργαρίτη που ήταν υπαρχηγός και έκαναν πολλή δουλειά για την προετοιμασία για έναν τόσο δύσκολο διαγωνισμό.

[S.E.Louridas]

Πολλά Πολλά ειλικρινή συγχαρητήρια και απέραντος θαυμασμός για αυτή εκκωφαντική απάντηση στην πρόκληση της εποχής.
Εύχομαι από καρδιάς καλή συνέχεια (αν και θεωρώ ότι είναι αναμενόμενη).
Η στιγμή αυτή είναι μία ορατή ως κορυφαία στιγμή της Γαλάζιας Πατρίδας, της άλλης ουσιαστικής Πατρίδας που αντιστέκεται σθεναρά.

[Doloros]

Θερμά συγχαρητήρια στα παιδιά.

Να τα χαίρονται οι δικοί τους . Πολλά συγχαρητήρια και σε όσους τους έχουν στηρίξει (με κάθε τρόπο) μέχρι σήμερα .

Εύχομαι καλή συνέχεια .

[ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ]

Συγχαρητήρια στην ομάδα!!! Μεγάλη η χαρά μας και απέραντος ο θαυμασμός μας σε αυτά τα παιδιά.
Πάντα επιτυχίες ευχόμαστε.