Θέματα της 8ης τάξης για την 2η φάση, 11 Φεβρουαρίου 2024.
1. Να αποδείξετε ότι τουλάχιστον ένας από τους ακόλουθους τέσσερεις αριθμούς
икс, микс, пятиклассник, пляскитиматинататами
είναι σύνθετος (διαφορετικά γράμματα αντιστοιχούν σε διαφορετικά ψηφία, ίδια σε ίδια, οι αριθμοί δεν ξεκινούν με το μηδέν). (*)
2. Σε κάθε κελί ενός
πίνακα βρίσκεται ένας αριστούχος ή μετεξεταστέος. Ένας μαθητής βλέπει έναν άλλο, αν βρίσκονται στην ίδια οριζόντιο ή κάθετο. Τον καθέναν τους ρώτησαν: Πόσους αριστούχους βλέπεις; Οι αριστούχοι απάντησαν σωστά (αληθώς) και ο κάθε μετεξεταστέος έσφαλε ακριβώς κατά 
, χωρίς να ανησυχεί για την όποια αληθοφάνεια της απάντησής του. Μπορεί άραγε κάθε μια εκ των απαντήσεων να ακούστηκε ακριβώς τέσσερεις φορές; 3. Ένας φαρμακοποιός έχει
σταθμά, τα οποία είναι βαμμένα με τρία χρώματα, άσπρο, μπλε και κόκκινο. Το συνολικό βάρος όλων των σταθμών ίδιου χρώματος είναι ένα κιλό. Του φαρμακοποιού του αρέσει μια συλλογή σταθμών, αν το συνολικό βάρος της είναι τουλάχιστον ένα κιλό. Να αποδείξετε ότι του αρέσουν τουλάχιστον 
συλλογές. 4. Σε ένα κυρτό πεντάγωνο
η διαγώνιος 
είναι παράλληλη με την πλευρά 
. Εξάλλου, 
και 
. Να αποδείξετε ότι το σημείο 
ισαπέχει από τις ευθείες 
και 
.Καταληκτική αίθουσα
5. Μια πόλη με πληθυσμό ένα εκατομμύριο ονομάζεται εξατομικευμένη, αν μεταξύ οποιονδήποτε
κατοίκων υπάρχουν το πολύ 
ζεύγη γνωστών. Ποιο είναι το μέγιστο δυνατό συνολικό πλήθος ζευγών γνωστών σε μια εξατομικευμένη πόλη;6. Στο εσωτερικό ενός ισοσκελούς τριγώνου
δίνεται ένα σημείο 
τέτοιο, ώστε 
. Η ευθεία 
διέρχεται από το σημείο 
παράλληλα προς την ευθεία 
και τέμνει το τρίγωνο 
κατά τμήμα μήκους 
. Να αποδείξετε ότι 
.7. Η ακολουθία
, που αποτελείτε από περιττούς φυσικούς αριθμούς είναι τέτοια, ώστε το 
να διαιρείτε με τον 
για όλα τα . Είναι άραγε απαραίτητο μεταξύ των όρων της ακολουθίας να βρίσκεται η μονάδα; (*) Δεν βρήκα προφανή τρόπο να «ελληνοποιήσω» το πρόβλημα και το άφησα στην πρωτότυπη μορφή του προς το παρόν.