Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2026 (τάξη 11η, μέρα 2η)

[Al.Koutsouridis]

LII Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα, Μόσχα 14-20 Απριλίου 2026
Θέματα της δεύτερης μέρας για την 11η τάξη.

1. Ο Αλέξανδρος τοποθέτησε ένα πιόνι σε ένα από τα σημεία του καρτεσιανού επιπέδου. Με μια κίνηση επιτρέπεται να μετακινηθεί το πιόνι, που βρίσκεται στο σημείο με συντεταγμένες , σε άλλο σημείο , αν η εξίσωση της ευθείας που ενώνει αυτά τα σημεία , έχει την μορφή . (όπου ο αριθμός της κίνησης). Μπορεί άραγε μετά από μερικές τέτοιες κινήσεις το πιόνι να γυρίσει στην αρχική του θέση;

2. Στον πίνακα είναι γραμμένοι ανά δυο διαφορετικοί φυσικοί αριθμοί, μεγαλύτεροι του . Προέκυψε ότι για οποιονδήποτε γραμμένο αριθμό θα βρεθούν τουλάχιστον ζεύγη γραμμένων αριθμών , για τους οποίους ο διαιρείται με το . Να βρείτε την μεγαλύτερη δυνατή τιμή του .

3. Σφαίρα με κέντρο το σημείο είναι εγγεγραμμένη στο τετράεδρο και εφάπτεται των εδρών του στα σημεία αντίστοιχα. Το τμήμα τέμνει το επίπεδο στο σημείο . Να αποδείξετε ότι το μέσο της ακμής βρίσκεται στο επίπεδο .

4. Δίνονται οι περιττοί αριθμοί , μεγαλύτεροι του . Σε τετραγωνισμένο επίπεδο (η πλευρά των κελιών είναι ίση με ) είναι τοποθετημένες κατά μήκος των γραμμών του πλέγματος χαρτοπετσέτες σε σχήμα τετραγώνων έτσι, ώστε κάθε κελί να μην επικαλύπτεται με πάνω από μια χαρτοπετσέτα. Προέκυψε ότι για κάθε τετραγωνισμένο ορθογώνιο με οριζόντια πλευρά και κάθετη πλευρά η κάτω αριστερή γωνία αποτελεί κέντρο μιας εκ των χαρτοπετσετών αν και μόνο αν η πάνω δεξιά γωνία του είναι κέντρο μιας εκ των χαρτοπετσετών. Να βρείτε τον ελάχιστο θετικό αριθμό , για τον οποίο για οποιονδήποτε μη μηδενικό φυσικό αριθμό εγγυημένα θα βρεθεί τετραγωνισμένο τετράγωνο , που περιέχει εξ ολοκλήρου το πολύ χαρτοπετσέτες.