IMC 2021/1/1

#1

Έστω πραγματικός $n \times n$ πίνακας

ώστε

(α) Να δειχθεί ότι υπάρχει μοναδικός πραγματικός $n \times n$ πίνακας

που ικανοποιεί την εξίσωση

$\displaystyle X + AX + XA^2 = A.$

(β) Να εκφραστεί ο

σε σχέση με τον

.

#2

Ωραίο και απλό.

Υποθέτουμε ότι το α) ισχύει για να βρούμε το

. Μετά απλώς επαληθεύουμε το α) και η μοναδικότητα είναι απλή.
Πολλαπλασιάζοντας από δεξιά με

βρίσκουμε
$\displaystyle{XA+AXA=A^2.}$
Αν τώρα πολλαπλασιάσουμε από αριστερά με

παίρνουμε

. Αντικαθιστώντας στην προηγούμενη παίρνουμε
$\displaystyle{XA-A^2XA=A^2.}$
Πολλαπλασιάζοντας τώρα αυτή με

από αριστερά παίρνουμε ΑΧΑ=0

, οπότε

.
Επομένως η δοθείσα γίνεται (I+A)X=A

. Αρκεί τώρα να είναι αντιστρέψιμος ο A+I

. Με την πληροφορία που έχουμε για τον A^3

, σκεπτόμαστε την ταυτότητα $\displaystyle{(I+A)(I-A+A^2)=A^3+I=I.}$
Η τελευταία λέει ότι όντως ο I+A

είναι αντιστρέψιμος και ο αντίστροφός του είναι ο I-A+A^2

. Επομένως
$\displaystyle{X=A(A^2-A+I)=A-A^2.}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Demetres έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 12, 2021 4:24 pm
Έστω πραγματικός $n \times n$ πίνακας ώστε

(α) Να δειχθεί ότι υπάρχει μοναδικός πραγματικός $n \times n$ πίνακας που ικανοποιεί την εξίσωση

$\displaystyle X + AX + XA^2 = A.$

(β) Να εκφραστεί ο σε σχέση με τον .

Νομίζω ότι είναι πολύ γνωστό πρόβλημα.
(παρόμοιο εμφανίζεται στις εξετάσεις Γραμμικής 1 στο Μαθηματικό Αθηνών)

Είναι $\displaystyle I-A^3=(I-A)(I+A+A^2)$

Η $\displaystyle X + AX + XA^2 = A.$

γράφεται

$\displaystyle X (I+ A + A^2) = A.$

Ετσι $\displaystyle X=A(I+A+A^2)^{-1}=A(I-A)=A-A^2$

και τελειώσαμε και για τα δύο.

Η παραπάνω απόδειξη είναι λάθος.Δεν είδα καλά την σχέση.Η παραπάνω λύση είναι εντάξει αν θεωρήσουμε ότι η σχέση είναι
$\displaystyle X + XA + XA^2 = A.$ που κάνει το αρχικό πρόβλημα πολύ πιο εύκολο
Ευχαριστώ τον Αχιλλέα που το παρατήρησε,

#4

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 12, 2021 11:45 pm

Demetres έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 12, 2021 4:24 pm
Έστω πραγματικός $n \times n$ πίνακας ώστε

(α) Να δειχθεί ότι υπάρχει μοναδικός πραγματικός $n \times n$ πίνακας που ικανοποιεί την εξίσωση

$\displaystyle X + AX + XA^2 = A.$

(β) Να εκφραστεί ο σε σχέση με τον .
Νομίζω ότι είναι πολύ γνωστό πρόβλημα.
(παρόμοιο εμφανίζεται στις εξετάσεις Γραμμικής 1 στο Μαθηματικό Αθηνών)

Είναι $\displaystyle I-A^3=(I-A)(I+A+A^2)$

Η $\displaystyle X + AX + XA^2 = A.$

γράφεται

$\displaystyle X (I+ A + A^2) = A.$

Ετσι $\displaystyle X=A(I+A+A^2)^{-1}=A(I-A)=A-A^2$

και τελειώσαμε και για τα δύο.

Καλημέρα!

Γιατί ισχύει AX=XA?

Νομίζω χρειάζεται απόδειξη.

Φιλικά,

Αχιλλέας

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

achilleas έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 13, 2021 10:45 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 12, 2021 11:45 pm

Demetres έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 12, 2021 4:24 pm
Έστω πραγματικός $n \times n$ πίνακας ώστε

(α) Να δειχθεί ότι υπάρχει μοναδικός πραγματικός $n \times n$ πίνακας που ικανοποιεί την εξίσωση

$\displaystyle X + AX + XA^2 = A.$

(β) Να εκφραστεί ο σε σχέση με τον .
Νομίζω ότι είναι πολύ γνωστό πρόβλημα.
(παρόμοιο εμφανίζεται στις εξετάσεις Γραμμικής 1 στο Μαθηματικό Αθηνών)

Είναι $\displaystyle I-A^3=(I-A)(I+A+A^2)$

Η $\displaystyle X + AX + XA^2 = A.$

γράφεται

$\displaystyle X (I+ A + A^2) = A.$

Ετσι $\displaystyle X=A(I+A+A^2)^{-1}=A(I-A)=A-A^2$

και τελειώσαμε και για τα δύο.
Καλημέρα!

Γιατί ισχύει Νομίζω χρειάζεται απόδειξη.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Καλημέρα.
Εκανα ΛΑΘΟΣ.
Δεν είδα ότι σε ένα σημείο αλλάζει πλευρά ο

.

IMC 2021/1/1

IMC 2021/1/1

Re: IMC 2021/1/1

Re: IMC 2021/1/1

Re: IMC 2021/1/1

Re: IMC 2021/1/1

Μέλη σε σύνδεση