Ακολουθίες και ολοκληρώματα

simantiris j. · #1

Μια που μου άρεσε.Ελπίζω να μην την έχουμε ξαναδεί.
Έστω $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής ώστε η ακολουθία $(a_{n}),n\geq 0$ με $a_{n}=\int_{0}^{1}f(x+n)dx$ να συγκλίνει.Συγκλίνει η $b_{n}=\int_{0}^{1}f(nx)dx$ ;

#2

simantiris j. έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 19, 2017 4:44 pm
Έστω $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής ώστε η ακολουθία $(a_{n}),n\geq 0$ με $a_{n}=\int_{0}^{1}f(x+n)dx$ να συγκλίνει.Συγκλίνει η $b_{n}=\int_{0}^{1}f(nx)dx$ ;

H αλλαγή μεταβλητής y=x+n-1

δίνει $a_{k} = \int_{0}^{1}f(x+k)dx = \int_{k}^{k+1}f(y)dy$ .

Επίσης, η αλλαγή μεταβλητής y=nx

δίνει

$b_{n}=\int_{0}^{1}f(nx)dx =\frac {1}{n} \int_{0}^{n}f(y)dy= \frac {1}{n} (a_0+a_1+...+a_{n-1})$ , που συγκλίνει από Cesaro.

simantiris j. · #3

Πολύ ωραία!Προτάθηκε από τον Titu Anreescu για τον Putnam κάποιας χρονιάς αυτή η ωραία εφαρμογή του Cesaro-Stolz.

Ακολουθίες και ολοκληρώματα

Ακολουθίες και ολοκληρώματα

Re: Ακολουθίες και ολοκληρώματα

Re: Ακολουθίες και ολοκληρώματα

Μέλη σε σύνδεση