Putnam 2017/B4

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7946
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Putnam 2017/B4

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Κυρ Δεκ 10, 2017 12:13 pm

Να υπολογιστεί το άθροισμα

\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\left(3\cdot\frac{\ln(4k+2)}{4k+2}-\frac{\ln(4k+3)}{4k+3}-\frac{\ln(4k+4)}{4k+4}-\frac{\ln(4k+5)}{4k+5}\right)



Λέξεις Κλειδιά:
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1389
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Putnam 2017/B4

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Τετ Δεκ 20, 2017 6:30 pm

Γράφουμε

\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \left( \frac{3 \ln (4k+2)}{4k+2} - \frac{\ln (4k+3)}{4k+3} - \frac{\ln (4k+4)}{4k+4}  - \frac{\ln (4k+5)}{4k+5} \right) =

\displaystyle = \sum_{k=0}^{\infty} \left( \frac{\ln (4k+2)}{4k+2} - \frac{\ln (4k+3)}{4k+3} + \frac{\ln (4k+4)}{4k+4}  - \frac{\ln (4k+5)}{4k+5} \right) + 2\sum_{k=0}^{\infty} \left( \frac{\ln (4k+2)}{4k+2} - \frac{\ln (4k+4)}{4k+4} \right) =

\displaystyle = \sum_{k=2}^{\infty} \frac{(-1)^k \ln k}{k} + 2 \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1} \ln (2k)}{2k} = \ln 2  + \sum_{k=2}^{\infty} (-1)^k \left( \frac{\ln k}{k} - \frac{\ln(2k)}{k} \right) =

\displaystyle = \ln 2 - \ln 2 \sum_{k=2}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k} = \ln 2 - \ln 2 (1 - \ln 2) = (\ln 2)^2


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης