Putnam 2018/A3

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8184
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Putnam 2018/A3

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Δεκ 04, 2018 4:37 pm

Να βρεθεί η μεγαλύτερη δυνατή τιμή του

\displaystyle \sum_{i = 1}^{10} \cos(3x_i)

όπου οι x_1, x_2, \dots, x_{10} είναι πραγματικοί αριθμοί ώστε

\displaystyle \sum_{i = 1}^{10} \cos(x_i) = 0.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8184
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Putnam 2018/A3

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Δεκ 19, 2018 11:58 am

Μιας και είμαστε στον φάκελο των φοιτητών, ας το δούμε με πολλαπλασιαστές Lagrange. Θα καταγράψω όλα όσα οφείλουμε να ελέγξουμε. Δεν γνωρίζω πόσες μονάδες θα έπαιρνε μια απευθείας χρήση των πολλαπλασιαστών χωρίς τους κατάλληλους ελέγχους.

Επειδή \cos(3x) = 4\cos^3{x}- 3\cos{x}, το πρόβλημα αρκεί να μεγιστοποιήσουμε το \displaystyle  \sum_{i=1}^{10} \cos^3{x_i}

Γράφοντας a_i = \cos(x_i) αρκεί να μεγιστοποιήσουμε το \displaystyle  \sum_{i=1}^{10} a_i^3 υπό τις συνθήκες a_1,\ldots,a_{10} \in [-1,1] και a_1 + \cdots + a_{10} = 0.

Επειδή το σύνολο όλων των (a_1,\ldots,a_{10}) είναι συμπαγές υποσύνολο του \mathbb{R}^{10} (ως κλειστό και φραγμένο) και επειδή η συνάρτηση προς μεγιστοποίηση είναι συνεχής, θα υπάρχει διάνυσμα στο οποίο λαμβάνεται το μέγιστο.

Αν στο διάνυσμα που λαμβάνεται το μέγιστο έχουμε a_i = -a_j, τότε αλλάζοντάς τα σε a_i = a_j = 0 θα έχουμε ένα άλλο διάνυσμα που ικανοποιεί τις συνθήκες και στο οποίο λαμβάνεται το μέγιστο. Μπορούμε λοιπόν να υποθέσουμε ότι στο διάνυσμα που λαμβάνεται το μέγιστο δεν έχουμε δύο τέτοια στοιχεία διάφορα του 0.

Περίπτωση 1: Χωρίς βλάβη της γενικότητας το μέγιστο λαμβάνεται στο (a_1,\ldots,a_r,1,\ldots,1) όπου a_1,\ldots,a_r \in (-1,1) και a_i \neq -a_j εκτός και αν a_i = a_j = 0.

Επειδή το (-1,1)^r είναι ανοικτό, επειδή ξέρουμε ότι υπάρχει διάνυσμα στο οποίο λαμβάνουμε το μέγιστο, και επειδή \nabla (a_1 + \cdots + a_r) = (1,1,\ldots,1) \neq \mathbf{0}, τότε από τους πολλαπλασιαστές Lagrange υπάρχει \lambda ώστε για κάθε i να ισχύει ότι

\displaystyle  \frac{\partial}{\partial a_i} (a_1^3 + \cdots + a_r^3) = \lambda \frac{\partial}{\partial a_i} (a_1 + \cdots + a_r)

Αυτό δίνει \lambda = 3a_1^2 = \cdots = 3a_r^2. Επειδή a_i \neq -a_j εκτός και αν a_i = a_j = 0 παίρνουμε ότι a_1 = \cdots = a_r. Η συνθήκη a_1 + \cdots + a_{10} = 0 δίνει a_1 = \cdots = a_r = \frac{r-10}{r}. Επειδή επιπλέον |a_1| < 1 πρέπει r > 5. Άρα το μέγιστο θα πρέπει να ισούται με

\displaystyle  10-r + r \frac{(r-10)^3}{r^3} = \frac{10-r}{r^2}\left[ r^2 - (10-r)^2\right] = \frac{10(10-r)(2r-10)}{r^2}

Για r=6,7,8,9,10 η μέγιστη τιμή της πιο πάνω συνάρτησης είναι η \displaystyle  \frac{120}{49} για r=7.

Περίπτωση 2: Χωρίς βλάβη της γενικότητας το μέγιστο λαμβάνεται στο (a_1,\ldots,a_r,-1,\ldots,-1) όπου a_1,\ldots,a_r \in (-1,1) και a_i \neq -a_j εκτός και αν a_i = a_j = 0.

Ακριβώς όπως στην Περίπτωση 1 το μέγιστο θα πρέπει να ισούται με \displaystyle -\frac{10(10-r)(2r-10)}{r^2} το οποίο είναι πάντα αρνητικό. (Στην πραγματικότητα εδώ δεν έχουμε μέγιστο αλλά τοπικό ελάχιστο.)

Λαμβάνοντας όλα τα πιο πάνω υπόψη το μέγιστο του ζητούμενου αθροίσματος ισούται με \displaystyle  4 \cdot \frac{120}{49} = \frac{480}{49}.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης