IMC 2020/1/2

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8468
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 2020/1/2

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Ιούλ 31, 2020 11:46 am

Έστω n \times n πίνακες A,B τέτοιοι ώστε \mathrm{rk}(AB-BA+I) = 1 όπου I ο ταυτοτικός n \times n πίνακας. Να αποδειχθεί ότι

\displaystyle  \mathrm{tr}(ABAB) - \mathrm{tr}(A^2B^2) = \frac{n(n-1)}{2}



Λέξεις Κλειδιά:
ChrP
Δημοσιεύσεις: 21
Εγγραφή: Πέμ Οκτ 31, 2019 2:08 am

Re: IMC 2020/1/2

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ChrP » Τετ Αύγ 05, 2020 9:59 pm

2(tr(ABAB)-tr(A^2B^2))=2tr(ABAB)-2tr(A^2B^2)=tr(ABAB)+tr(ABAB)-tr(A^2B^2)-tr(A^2B^2)=tr(ABAB)+tr(BABA)-tr(A^2B^2)-tr(AABB)=tr(ABAB)+tr(BABA)-tr(BA^2B)-tr(AB^2A)=tr(AB(AB-BA))-tr((BA-AB)BA)=tr(AB(AB-BA))+tr(BA(BA-AB)=tr(AB-BA)^2
Από το \text{rank}(AB-BA+I) = 1. έχουμε dimker(AB-BA+I)=n-1 Αφού dimimL_A+dimkerL_A=n για την γραμμική L_A=AX  : \mathbb{F }^{n \times 1} \rightarrow \mathbb{F}^{n \times 1} άρα ο πίνακας ΑΒ-ΒΑ έχει ιδιοτιμή το -1 με πολλαπλότητα n-1
0=tr(AB-BA)= άθροισμα τον ιδιοτιμών= (-1)(n-1)+x οπού χ η τελευταία ιδιοτιμή πολλαπλότητας 1
Τελικά x=n-1
O AB-BA είναι διαγωνίσιμος αφού το άθροισμα των διαστάσεων τον ιδιοχώρων του είναι ίσο με n
AB-BA=P^{-1}DP με D=diag(-1,-1, \cdots ,-1 , n-1) \Rightarrow
(AB-BA)^2=P^{-1}D^2P με D=diag(1,1, \cdots ,1 , (n-1)^2)
tr((AB-BA)^2)=tr(D^2)=n-1+(n-1)^2=(n-1)(1+n-1)=n(n-1)
Τελικά 2(tr(ABAB)-tr(A^2B^2))=n(n-1) \Rightarrow tr(ABAB)-tr(A^2B^2)=\frac{n(n-1)}{2}

*ακόμα πιο άπλα προκύπτει από θεώρημα φασματικής απεικόνισης για τον πίνακα  AB-BA στις ιδιοτιμές του σε σχέση με τον (AB-BA)^2
**Για κάποιο λόγο το LATEX βγάζει κάποια αρχικά trace ως βούλες


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες