IMC 2020/1/2

#1

Έστω $n \times n$ πίνακες A,B

τέτοιοι ώστε $\mathrm{rk}(AB-BA+I) = 1$ όπου

ο ταυτοτικός $n \times n$ πίνακας. Να αποδειχθεί ότι

$\displaystyle \mathrm{tr}(ABAB) - \mathrm{tr}(A^2B^2) = \frac{n(n-1)}{2}$

ChrP · #2

Από το $\text{rank}(AB-BA+I) = 1.$ έχουμε dimker(AB-BA+I)=n-1

Αφού

για την γραμμική $L_A=AX : \mathbb{F }^{n \times 1} \rightarrow \mathbb{F}^{n \times 1}$ άρα ο πίνακας ΑΒ-ΒΑ

έχει ιδιοτιμή το -1 με πολλαπλότητα n-1

άθροισμα τον ιδιοτιμών= (-1)(n-1)+x

οπού χ η τελευταία ιδιοτιμή πολλαπλότητας 1
Τελικά x=n-1

O

είναι διαγωνίσιμος αφού το άθροισμα των διαστάσεων τον ιδιοχώρων του είναι ίσο με

$AB-BA=P^{-1}DP$ με $D=diag(-1,-1, \cdots ,-1 , n-1) \Rightarrow$
$(AB-BA)^2=P^{-1}D^2P$ με $D=diag(1,1, \cdots ,1 , (n-1)^2)$
tr((AB-BA)^2)=tr(D^2)=n-1+(n-1)^2=(n-1)(1+n-1)=n(n-1)

Τελικά $2(tr(ABAB)-tr(A^2B^2))=n(n-1) \Rightarrow tr(ABAB)-tr(A^2B^2)=\frac{n(n-1)}{2}$

*ακόμα πιο άπλα προκύπτει από θεώρημα φασματικής απεικόνισης για τον πίνακα AB-BA

στις ιδιοτιμές του σε σχέση με τον (AB-BA)^2

**Για κάποιο λόγο το LATEX βγάζει κάποια αρχικά trace ως βούλες

IMC 2020/1/2

IMC 2020/1/2

Re: IMC 2020/1/2

Μέλη σε σύνδεση