Ανισότητα

TrItOs · #1

Ανισότητα 1

TrItOs έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 17, 2020 7:23 pm
Να αποδειχθεί η ανισότητα :
$\cos^{2}(x) + \cos^{2}(y) \leqslant 1 + | \cos(z) |$
για κάθε $x , y , z \in \mathbb{R}$

Ανισότητα 2

Δίνονται τα διανύσματα $a , b , c \in \mathbb{R}^{n}$ , δείξτε ότι:
$\big[ || a || \cdot < b , c >\big]^{2} + \big[ || b || \cdot < a , c >\big]^{2} \leqslant || a || \cdot || b || \cdot \big[ || a || \cdot || b || + | < a , b > | \big] \cdot || c ||^{2}$
όπου < x , y >

είναι το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στον $\mathbb{R}^{n}$ , $x , y \in \mathbb{R}^{n}$

Και έκανα το εξής :
$< a , b > = || a || \cdot || b || \cdot \cos(x)$
$< b , c > = || b || \cdot || c || \cdot \cos(y)$
$< a , c > = || a || \cdot || c || \cdot \cos(z)$
Πήρα την ζητούμενη ισότητα και ισοδύναμα κατέληξα στην
$|| a ||^{2} \cdot || b ||^{2} \cdot || c ||^{2} \cdot \big[ \cos^{2}(y) + \cos^{2}(z) - \big( 1 + | \cos(x) | \big) \big] \leqslant 0$
Όπου προφανώς αν το μέτρο ενός τουλάχιστον διανύσματος είναι μηδέν τότε προφανώς ισχύει οπότε τώρα για μη μηδενικά διανύσματα θέλουμε να αποδείξουμε την ανίσωση
$\cos^{2}(y) + \cos^{2}(z) \leqslant 1 + | \cos(x) |$ , για κάποια $x , y , z \in \mathbb{R}$
Μπορείτε να με βοηθήσετε για το πως λύνεται σύμφωνα με αυτά που έχω κάνει , και βεβαίως να μου πείτε αν είναι σωστό η όλη πορεία .
Έχει ξανά αναφερθεί αυτό το πρόβλημα , το οποίο είχε τεθεί στο διαγωνισμό Seemous

Λάμπρος Κατσάπας · #2

TrItOs έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 17, 2020 7:23 pm
Να αποδειχθεί η ανισότητα :
$\cos^{2}(x) + \cos^{2}(y) \leqslant 1 + | \cos(z) |$
για κάθε $x , y , z \in \mathbb{R}$

Προφανώς και δεν ισχύει. Ξανακοιτάξτε την.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

TrItOs έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 17, 2020 7:23 pm
Να αποδειχθεί η ανισότητα :
$\cos^{2}(x) + \cos^{2}(y) \leqslant 1 + | \cos(z) |$
για κάθε $x , y , z \in \mathbb{R}$

Η σωστή είναι
$\cos^{2}(x) + \cos^{2}(y) \leqslant 1 + | \cos(z) |^2$

οπου $x , y \in \mathbb{R}$ και
z=x+iy

Λάμπρος Κατσάπας · #4

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 17, 2020 8:23 pm

TrItOs έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 17, 2020 7:23 pm
Να αποδειχθεί η ανισότητα :
$\cos^{2}(x) + \cos^{2}(y) \leqslant 1 + | \cos(z) |$
για κάθε $x , y , z \in \mathbb{R}$
Η σωστή είναι
$\cos^{2}(x) + \cos^{2}(y) \leqslant 1 + | \cos(z) |^2$

οπου $x , y \in \mathbb{R}$ και

Όμορφη! Δεν τη γνώριζα. Ας τη δείξουμε.

Είναι $\cos z=cos(x+iy)=\cos x\cos(iy) -\sin x\sin (iy).$

Από τις $e^{iy}=\cos y+i\sin y, e^{-iy}=\cos y-i\sin y$ έχουμε:

$\cos(iy)=\dfrac{e^y+e^{-y}}{2}=\cosh y,\sin(iy)=\dfrac{e^{-y}-e^{y}}{2i}=i\dfrac{e^{y}-e^{-y}}{2}=i \sinh y.$

Τελικά παίρνουμε

$\cos z=\cos x\cosh y -i \sin x\sinh y\Rightarrow |\cos z|^2= \cos^2 x\cosh^2 y + \sin ^2x\sinh^2 y.$

Χρησιμοποιώντας την ταυτότητα $\cosh^2 y-\sinh^2 y=1$ η τελευταία δίνει

$|\cos z|^2=\cos^2 x+ \sinh^2 y.$

Θέλουμε τελικά να αποδείξουμε την $\cos^{2}y \leqslant 1 + \sinh^2 y$

δηλαδή την $\cos^{2} y \leqslant 1 + \left (\dfrac{e^y-e^{-y}}{2} \right )^2$

ή την $e^{2y}+e^{-2y}+2-4\cos^2 y\geq 0.$

H τελευταία προκύπτει άμεσα με χρήση της $e^y\geq y+1.$

#5

Έχει γίνει ένα μπέρδεμα εδώ μιας και έχουμε δυο διαφορετικές ανισότητες. Επανέφερα ένα κομμάτι στην αρχική ανάρτηση που μάλλον διαγράφηκε ή τροποποιήθηκε.

Ονόμασα τις ανισότητες 1 και 2 ώστε να ξέρουμε για ποιες μιλάμε. Η Ανισότητα 1, με κάποιες απαραίτητες διορθώσεις z=x+iy

έχει λυθεί. Η Ανισότητα 2 που καταλήγει σε μια ανισότητα που μοιάζει με την Ανισότητα 1 παραμένει ανοικτή.

#6

Demetres έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 18, 2020 9:32 pm
Έχει γίνει ένα μπέρδεμα εδώ μιας και έχουμε δυο διαφορετικές ανισότητες. Επανέφερα ένα κομμάτι στην αρχική ανάρτηση που μάλλον διαγράφηκε ή τροποποιήθηκε.

Ονόμασα τις ανισότητες 1 και 2 ώστε να ξέρουμε για ποιες μιλάμε. Η Ανισότητα 1, με κάποιες απαραίτητες διορθώσεις έχει λυθεί. Η Ανισότητα 2 που καταλήγει σε μια ανισότητα που μοιάζει με την Ανισότητα 1 παραμένει ανοικτή.

Πράγματι μπερδεύτηκα. Τώρα με την διευθέτηση του Δημήτρη ξεκαθάρισε το τοπίο. Δημήτρη, ευχαριστούμε.

Έβαλα λύση της Ανισότητας 2 εκεί, όπου επανεμφανίζεται.

Ανισότητα

Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση