ανάμεσα στο 0,5 και το 0,6

johnyb98 · #1

Καλημέρα σε όλους και καλή επιτυχία στους μαθητές !!

Η ερώτηση:Ανάμεσα στο 0,5 και το 0,6 πόσοι αριθμοί υπάρχουν;

Το ερώτημα αντλήθηκε από την τηλεοπτική εκπομπή "Στα άκρα", στη ΝΕΤ, χθες, 13/05/11.

#2

Και μη χειρότερα: Πριν από μερικά χρόνια στον ΑΣΕΠ για υποψήφιους Δασκάλους, που ήμουν διορθωτής, είχε ερώτηση της μορφής "να βρεθούν δύο αριθμοί μεταξύ (αν θυμάμαι καλά) των 1/2 και 1/3".
Το λοιπόν, μερικοί δεν βρήκαν κανέναν και άλλοι βρήκαν μόνον ένα. Άντε τώρα αυτοί να διδάξουν μαθηματικά στα παιδιά μας.

Από τότε, όποτε κανένας γονιός μου λέει πόσο έξυπνος είναι ο κανακάρης τους και τα παίρνει τα μαθηματικά, πάντα ρωτάω την παραπάνω ερώτηση. Αν απαντήσει σωστά ο κανακάρης και μου εξηγήσει πώς σκέφτηκε, έπεται συνέχεια:
Του λέω "Σωστά. Θέλω τώρα να σκεφτείς με άλλο τρόπο και να βρεις δύο αριθμούς όπως σου ζήτησα".
Αν βρεί αριθμούς με άλλο τρόπο τότε, αφού μου τον εξηγήσει, του λέω "Μπράβο. Τώρα θέλω να τους βρεις με τρίτο τρόπο".

Άσκηση για τους μαθητές μας (άντε, και τους γονείς): Βρείτε τρεις διαφορετικούς τρόπους να προσδιορίσετε δύο αριθμούς μεταξύ των 1/2 και 1/3.

Μπα; Γιατί τρεις τρόπους. Βρείτε τέσσερις!

Φιλικά,

Μιχάλης

Πέππας · #3

Ουσιαστικά υπάρχουν άπειροι αριθμοί, όπως το 0,55 ή το 0,555.
Δεν ξέρω αν όντως ισχύει κάτι τέτοιο. Απλά το φιλοσοφούσα στη δευτέρα λυκείου στις προόδους

parmenides51 · #4

Mihalis_Lambrou έγραψε:Και μη χειρότερα: Πριν από μερικά χρόνια στον ΑΣΕΠ για υποψήφιους Δασκάλους, που ήμουν διορθωτής, είχε ερώτηση της μορφής "να βρεθούν δύο αριθμοί μεταξύ (αν θυμάμαι καλά) των 1/2 και 1/3".
Το λοιπόν, μερικοί δεν βρήκαν κανέναν και άλλοι βρήκαν μόνον ένα. Άντε τώρα αυτοί να διδάξουν μαθηματικά στα παιδιά μας.

Χωρίς σχόλια

Νασιούλας Αντώνης · #5

Πραγματικά χωρίς σχόλια...

Ας δώσω μια νότα αισιοδοξίας παίζοντας με τους αριθμούς και να ικανοποιήσω τον κ. Μιχάλη δίνοντάς του 4 τρόπους...να βρούμε δυο αριθμούς ανάμεσα από το $\displaystyle \frac{1}{3}$ και $\displaystyle \frac{1}{2}$

1ος Τρόπος

Γνωρίζουμε ότι ανάμεσα σε δυο κλάσματα με τον ίδιο αριθμητή μεγαλύτερο είναι αυτό με τον μικρότερο παρανομαστή.

Στην συγκεκριμένη περίπτωση ψάχνουμε αριθμούς μικρότερους του τρια και μεγαλύτερους του δυο.
Ένας τέτοιος είναι ο $\displaystyle 2,5=\frac{5}{2}$ και ένας ακόμα ο $\displaystyle 2,2=\frac{11}{5}$ , άρα δυο αριθμοί που ικανοποιούν το ζητούμενο είναι οι:
$\displaystyle{\frac{1}{\frac{5}{2}}=\frac{2}{5}}$ και $\displaystyle \frac{1}{\frac{11}{5}}=\frac{5}{11}$

2ος Τρόπος

Κάνουμε ομώνυμα τα κλάσματα και ψάχνουμε να βρούμε αριθμούς ανάμεσα στους δυο αριθμητές που προκύπτουν.

$\displaystyle \frac{1}{3}=\frac{2}{6}$ και $\displaystyle \frac{1}{2}=\frac{3}{6}$

Πάλι ψάχνουμε αριθμούς μικρότερους του τρια και μεγαλύτερους του δυο.
Ένας τέτοιος είναι ο $\displaystyle 2,5=\frac{5}{2}$ και ένας ακόμα ο $\displaystyle 2,2=\frac{11}{5}$ , άρα δυο αριθμοί που ικανοποιούν το ζητούμενο είναι οι:
$\displaystyle{\frac{\frac{5}{2}}{6}=\frac{5}{12}}$ και $\displaystyle \frac{\frac{11}{5}}{6}=\frac{11}{30}$

3ος Τρόπος

Ψάχνουμε $a,b \in \mathbb{N}$ που να ικανοποιούν τη σχέση $\displaystyle{\frac{1}{3}<\frac{a}{b}<\frac{1}{2}$ από την οποία προκύπτει η σχέση:
$2a<b<3a\color{red}{(1)}$
Τοποθετώντας στην (1) φυσικούς αριθμούς της αρεσκείας μας και παίρνοντας έναν b που να ικανοποιεί την (1) μπορούμε να βρούμε άπειρους αριθμούς που να ικανοποιούν το ζητούμενο.
Έστω a=3 τότε 6<b<9

και παίρνω τυχαία το 7.
Έστω a=5 τότε 10<b<15

και παίρνω τυχαία το 11.
Άρα δυο αριθμοί που ικανοποιούν το ζητούμενο είναι οι: $\displaystyle \frac{3}{7}$ και $\displaystyle \frac{5}{11}$

4ος Τρόπος

Μετατρέπω τα κλάσματα σε δεκαδικούς αριθμούς.

$\displaystyle \frac{1}{3}=0,\bar{3}$ και $\displaystyle \frac{1}{2}=0,5$

Είναι προφανές ότι δυο αριθμοί που ικανοποιούν το ζητούμενο είναι οι: 0,47

και

Ουφ...

parmenides51 · #6

Πιο απλά : $\frac{1}{2}=\frac{10}{20}$ και $\frac{1}{3}=\frac{10}{30}$
οπότε ενδιάμεσα βρίσκονται οι $\frac{10}{21},\frac{10}{22},\frac{10}{23},...,\frac{10}{29}$ .

#7

Υπάρχουν πάρα πολλοί τρόποι, μερικοί από τους οποίους εμφανίστηκαν παραπάνω. Για όφελος των μαθητών μας, ας σταχυολογήσω κάποιους:

1) Κάνω τα κλάσματα με ίδιο παρονομαστή, π.χ. $\frac{30}{60}, \frac{20}{60}$ . Βλέπω τώρα ενδιάμεσα κλάσματα τα
$\frac{29}{60}, \frac{28}{60}, \frac{27}{60}, ... , \frac{21}{60}$ .

2) Κάνω τα κλάσματα με ίδιο αριθμητή, π.χ. $\frac{10}{20}, \frac{10}{30}$ . Βλέπω τώρα ενδιάμεσα κλάσματα τα
$\frac{10}{21}, \frac{10}{22}, \frac{10}{23}, ... , \frac{10}{29}$ .

3) Μετατρέπω τα κλάσματα σε δεκαδικό: 0,5 και 0,33... . Εύκολα τώρα βλέπω ενδιάμεσους αριθμούς, π.χ. τους 0,4, 0,41, 0,42 και λοιπά.

4) Ένας αριθμός ενδιάμεσος μεταξύ των a και b είναι ο μέσος όρος τους $c = \frac {a+b}{2}$ . Άλλος είναι ο μέσος όρος d μεταξύ των a και c. Άλλος ακόμα είναι ο μέσος όρος e μεταξύ a και d, και πάει λέγοντας.

Αυτά.

Μιχάλης

Edit αργότερα. Ας προσθέσω έναν τρόπο ακόμα: Αν $0< \frac{a}{b}<\frac{c}{d}$ τότε ισχύει (απλό) $0< \frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+d}<\frac{c}{d}$ . Φτιάχνω έτσι όσα ενδιάμεσα κλάσματα θέλω.

Άντε, και άλλον ένα: Παίρνω έναν αριθμό πολύ μικρότερο από την διαφορά τους $0< \frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$ , π.χ. τον $\frac{1}{1000}$ . Έχω τώρα ενδιάμεσους τους $\frac{1}{3}+ \frac{1}{1000}, \frac{1}{3}+ \frac{2}{1000}, \frac{1}{3}+ \frac{3}{1000}, ... , \frac{1}{3}+ \frac{166}{1000}$ .

Πέππας · #8

Επίσης για τους αριθμούς 0,5 και 0,6
a=0.5

Ετσι

Εχουμε λοιπόν, για x με $\left\{x\epsilon \Re /x>0,6 \right\}$
$\frac{a+0,1}{x}\geq \frac{a+0,1}{x+1}\geq \frac{a+0,1}{x+2}\geq ....\geq \frac{a+0,1}{x+k}$

#9

Πέππας έγραψε:Επίσης για τους αριθμούς 0,5 και 0,6

Ετσι
Εχουμε λοιπόν, για x με $\left\{x\epsilon \Re /x>0,6 \right\}$
$\frac{a+0,1}{x}\geq \frac{a+0,1}{x+1}\geq \frac{a+0,1}{x+2}\geq ....\geq \frac{a+0,1}{x+k}$

Χμμμ, προσοχή. Οι αριθμοί αυτοί δεν είναι κατ΄ανάγκη μεταξύ των 0,5 και 0,6. Π.χ. για x=2 είναι $\frac{a+0,1}{x} = \frac{0,6}{2} < 0,6 < 0,5$ .

Μ.

Πέππας · #10

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Πέππας έγραψε:Επίσης για τους αριθμούς 0,5 και 0,6

Ετσι
Εχουμε λοιπόν, για x με $\left\{x\epsilon \Re /x>0,6 \right\}$
$\frac{a+0,1}{x}\geq \frac{a+0,1}{x+1}\geq \frac{a+0,1}{x+2}\geq ....\geq \frac{a+0,1}{x+k}$
Χμμμ, προσοχή. Οι αριθμοί αυτοί δεν είναι κατ΄ανάγκη μεταξύ των 0,5 και 0,6. Π.χ. για x=2 είναι $\frac{a+0,1}{x} = \frac{0,6}{2} < 0,6 < 0,5$ .

Μ.

δίκιο έχετε, δεν το σκέφτηκα. Λογικά χρειάζεται κάποιος περιορισμός ακόμα?

#11

Για τους 0,5 και 0.6 μια απειρία αριθμών είναι η εξής:

0,51 0,511 0,5111 0,51111 κλπ

Παλιά, τρόμαξα να πέισω έναν γιατρό ότι τα 2,3 mg φαρμάκου είναι περισσότερα από τα 2,18 mg !!!! Πίστευε το αντίθετο. (Μην ξεχνάμε ότι παλιά στην Ιατρική δεν εξετάζονταν τα μαθηματικά!!!!)

antonis kalogirou · #12

Λοιπόν αν σκεφτούμε ότι ένας αριθμός μπορεί ναι έχει άπειρα δεκαδικά τότε υπάρχουν άπειροι αριθμοί ανάμεσα σε όποιους αριθμούς και αν μου πείτε.....
αυτό είναι αποδεδειγμένο από τον όρο ότι στον άξονα των αριθμών δεν υπάρχουν ούτε όρια άρα αν προσδιορίσουμε τον άξονα ανάμεσα σε δύο αριθμούς τότε πάλι υπάρχουν άπειροι όροι .........

#13

Μία "πρακτική" αιτιολόγηση (πέρα από την αυστηρά μαθηματική απόδειξη) για το λόγο που η πρόσθεση αριθμητών και παρονομαστών δίνει πάντα κλάσμα ανάμεσα στα δύο αρχικά (αν είναι άνισα) είναι και η παρακάτω. (Την αναφέρω όταν κάνουμε κλάσματα στην πρώτη Γυμνασίου όπου τα παιδιά δεν έχουν μπεί ακόμα στην Άλγεβρα.)
Σε ένα αγώνα μπάσκετ, το ποσοστό ενός παίκτη στις βολές είναι π.χ. 5/7 στο πρώτο ημίχρονο, ενώ στο δεύτερο είναι 6/11. Τότε, το ποσοστό του σε όλο τον αγώνα είναι 11/18 που προφανώς δεν μπορεί να είναι καλύτερο και από τα δύο ημίχρονα ή χειρότερο και από τα δύο. Άρα πρόκειται για κάτι ενδιάμεσο.
Ερώτηση:Είναι μικρότερο η μεγαλύτερο από το μέσο όρο; Αλλάζει κάτι για καταχρηστικά κλάσματα;

ανάμεσα στο 0,5 και το 0,6

ανάμεσα στο 0,5 και το 0,6

Re: ανάμεσα στο 0,5 και το 0,6

Re: ανάμεσα στο 0,5 και το 0,6

Re: ανάμεσα στο 0,5 και το 0,6

Re: ανάμεσα στο 0,5 και το 0,6

Re: ανάμεσα στο 0,5 και το 0,6

Re: ανάμεσα στο 0,5 και το 0,6

Re: ανάμεσα στο 0,5 και το 0,6

Re: ανάμεσα στο 0,5 και το 0,6

Re: ανάμεσα στο 0,5 και το 0,6

Re: ανάμεσα στο 0,5 και το 0,6

Re: ανάμεσα στο 0,5 και το 0,6

Re: ανάμεσα στο 0,5 και το 0,6

Μέλη σε σύνδεση