γραμμική απεικόνιση

akis15 · #1

Η γραμμική απεικόνιση $\sigma :R^{3}\rightarrow R^{3}$ απεικονίζει κάθε σημείο M(x,y,z)

στο συμμετρικό του M'(x',y',z')

ως προς την ευθεία ε που περνάει από την αρχή των αξόνων $\Omega (0,0,0)$ και έχει παράλληλο διάνυσμα u=(1,-2,2)

.Να βρείτε μια βάση και την γεωμετρική αναπαράσταση του πυρήνα της $\sigma$ .

ΥΓ
Έχω βρει τον τύπο της γραμμικής απεικόνισης,και μια βάση αλλά προβληματίζομαι λίγο στην γεωμετρική αναπαράσταση.Ακόμα θέλω να δω τον τρόπο διατύπωσης της άσκησης .Ευχαριστώ

kostas_zervos · #2

akis15 έγραψε:Η γραμμική απεικόνιση $\sigma :R^{3}\rightarrow R^{3}$ απεικονίζει κάθε σημείο στο συμμετρικό του ως προς την ευθεία ε που περνάει από την αρχή των αξόνων $\Omega (0,0,0)$ και έχει παράλληλο διάνυσμα .Να βρείτε μια βάση και την γεωμετρική αναπαράσταση του πυρήνα της $\sigma$ .

ΥΓ
Έχω βρει τον τύπο της γραμμικής απεικόνισης,και μια βάση αλλά προβληματίζομαι λίγο στην γεωμετρική αναπαράσταση.Ακόμα θέλω να δω τον τρόπο διατύπωσης της άσκησης .Ευχαριστώ

Ένα τρόπος λύσης: (έλεγξε τα αποτελέσματα με τα δικά σου για να δούμε διαφορές και πιθανά λάθη)

Η ευθεία είναι η $\varepsilon:x=-\dfrac{y}{2}=\dfrac{z}{2}$ , επομένως y=-2x

και

.

Είναι $\vec{MM'}\bot \vec{u}\iff (x'-x)-2(y'-y)+2(z'-z)=0$ και

το μέσο του MM'

ανήκει στην $(\varepsilon)$ , άρα:

y+y'=-2(x+x')

και

.

Λύνοντας το παραπάνω σύστημα ως προς (x',y',z')

έχουμε:

$x'=\dfrac{4z-4y-7x}{9}$ , $y'=-\dfrac{8z+y+4x}{9}$ και $z'=-\dfrac{z+8y-4x}{9}$

Άρα $\sigma(x,y,z)=\left(\dfrac{4z-4y-7x}{9},-\dfrac{8z+y+4x}{9},-\dfrac{z+8y-4x}{9}\right)$ και μία βάση είναι η

$B=\left\{\left(-7,-4,4),(-4,-1,-8),(4,-8,-1)\right\}$ .

Πυρήνα βρίσκω το $\{(0,0,0)\}$ που είναι λογικό λόγω της περιγραφής της απεικόνισης....

akis15 · #3

Την βάση πως την υπολογίσατε? μπορείτε να γράψετε το γενικό σκεπτικό?

Τα υπόλοιπα τα βρήκα όπως εσείς

Christos.N · #4

Επειδή λείπει ο Κώστας:

$\displaystyle{ \begin{array}{l} \left( {\frac{{4z - 4y - 7x}}{9}, - \frac{{8z + y + 4x}}{9}, - \frac{{z + 8y - 4x}}{9}} \right) = \\ \\ = \frac{1}{9}\left( { - 7, - 4,4} \right)x + \frac{1}{9}\left( { - 4, - 1, - 8} \right)y + \frac{1}{9}\left( {4, - 8, - 1} \right)z \\ \end{array} }$

Να συμπληρώσω μόνο ότι είναι και γραμμικά ανεξάρτητα.

$\displaystyle{ \left| {\begin{array}{*{20}c} { - 7} & { - 4} & 4 \\ { - 4} & { - 1} & { - 8} \\ 4 & { - 8} & { - 1} \\ \end{array}} \right| = - 7\left( {1 - 64} \right) + 4\left( {4 + 32} \right) + 4\left( {32 + 4} \right) = \cdot \cdot \cdot \ne 0 }$

akis15 · #5

ευχαριστώ πολύ

γραμμική απεικόνιση

γραμμική απεικόνιση

Re: γραμμική απεικόνιση

Re: γραμμική απεικόνιση

Re: γραμμική απεικόνιση

Re: γραμμική απεικόνιση

Μέλη σε σύνδεση