ΔΡΑΣΗ ΟΜΑΔΩΝ ΣΕ ΣΥΝΟΛΑ

Mαριάννα · #1

Καλησπέρα σας !
Έχω την ομάδα G=R

των πραγματικών με πράξη την πρόσθεση και έστω $X=R^{2}$ το επίπεδο. Πώς μπορώ να δείξω ότι η $G\times X\rightarrow X$ που ορίζεται ως $x\star (a,b)= \begin{pmatrix} sinx+cosx\\ -cosx+sinx\end{pmatrix}$ $\cdot \begin{pmatrix} a\\ b\end{pmatrix}$ ορίζει δράση του

στο

, όπου $x\in R$ και $(a,b)\in R^{2}$ ;;
Επίσης, είναι σωστό ότι οι τροχιές της δράσης είναι οι $R_{(a,b)}=\left \{ (asinx+bcosx,-acosx+bsinx), x\in R \right \}$ και $R^{2}=\cup R_{(a,b)}$ , όπου $(a,b)\in X$ και η ένωση είναι ξένη;
Ακόμα είναι σωστό ότι αν $x=(a,b)\in X$ , τότε $G_{x}=\left \{ x\in G /x\cdot(a,b)=(a,b)\right \}=\left \{2n\pi +\frac{\pi }{2} ,n\in \mathbb{Z}\right \}$ ;
σας ευχαριστώ !

#2

Πρώτα απ΄όλα δες ότι η εν λόγω ομάδα είναι η ομάδα των περιστροφών του επιπέδου γύρω από την αρχή των αξόνων. Δες πια είναι η τροχιά ενός σημείου. Κάνε κάποια σχήματα για να δεις καλλίτερα το θέμα. Πιο τυπικά τώρα:
1) Πως ορίζεται η δράση μιας ομάδας σε ένα σύνολο;
2) Πως ορίζεται η τροχιά ενός στοιχείου; Τι ξέρεις για τις τροχιές; Σημείωσε ότι η σχέση $\sim$ με
$\left( {a,b} \right) \sim \left( {c,d} \right) \Leftrightarrow$ τα $\left( {a,b} \right), \left( {c,d} \right)$ ανήκουν στην ίδια τροχιά
είναι σχέση ισοδυναμίας στο επίπεδο.
Μαυρογιάννης

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Mαριάννα έγραψε:Καλησπέρα σας !
Έχω την ομάδα των πραγματικών με πράξη την πρόσθεση και έστω $X=R^{2}$ το επίπεδο. Πώς μπορώ να δείξω ότι η $G\times X\rightarrow X$ που ορίζεται ως $x\star (a,b)= \begin{pmatrix} sinx+cosx\\ -cosx+sinx\end{pmatrix}$ $\cdot \begin{pmatrix} a\\ b\end{pmatrix}$ ορίζει δράση του στο , όπου $x\in R$ και $(a,b)\in R^{2}$ ;;
Επίσης, είναι σωστό ότι οι τροχιές της δράσης είναι οι $R_{(a,b)}=\left \{ (asinx+bcosx,-acosx+bsinx), x\in R \right \}$ και $R^{2}=\cup R_{(a,b)}$ , όπου $(a,b)\in X$ και η ένωση είναι ξένη;
Ακόμα είναι σωστό ότι αν $x=(a,b)\in X$ , τότε $G_{x}=\left \{ x\in G /x\cdot(a,b)=(a,b)\right \}=\left \{2n\pi +\frac{\pi }{2} ,n\in \mathbb{Z}\right \}$ ;
σας ευχαριστώ !

Μαριάννα έχεις τυπογραφικό.Το ουδέτερο στοιχείο της ομάδας πάει κάθε στοιχείο του συνόλου στον εαυτό του.
Εδω το ουδέτερο είναι το

και $0\star(a,b)=(a,-b)$

ΔΡΑΣΗ ΟΜΑΔΩΝ ΣΕ ΣΥΝΟΛΑ

ΔΡΑΣΗ ΟΜΑΔΩΝ ΣΕ ΣΥΝΟΛΑ

Re: ΔΡΑΣΗ ΟΜΑΔΩΝ ΣΕ ΣΥΝΟΛΑ

Re: ΔΡΑΣΗ ΟΜΑΔΩΝ ΣΕ ΣΥΝΟΛΑ

Μέλη σε σύνδεση