3 όμορφα ολοκληρώματα

Tolaso J Kos · #1

Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα:
i. $\displaystyle{I=\int \sin \left ( \ln x \right )\, dx}$
ii. $\displaystyle{J=\int \cos \left ( \ln x \right )\, dx, \,\,\,\,}$

και ένα τρίτο:
iii. $\displaystyle{K=\int \frac{2^x3^x}{9^x-4^x}\, dx}$

Και τα τρία έρχονται από Βιετνάμ

G.Bas · #2

Tolaso J Kos έγραψε:Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα:
i. $\displaystyle{I=\int \sin \left ( \ln x \right )\, dx}$
ii. $\displaystyle{J=\int \cos \left ( \ln x \right )\, dx, \,\,\,\,}$

Και τα τρία έρχονται από Βιετνάμ

Γειά σου Τόλη!

Για το πρώτο είναι

$\displaystyle{\int\sin(\ln x)\, \mathrm{d}x=x\sin(\ln x)-\int\cos(\ln x)\,\mathrm{d}x}$

και $\displaystyle{\int\cos (\ln x)\,\mathrm{d}x=x\cos (\ln x)+\int \sin(\ln x)\,\mathrm{d}x}$ .

Θέτουμε $\displaystyle{I=\int\sin(\ln x)\, \mathrm{d}x}$ και θα ισχύει τότε $\displaystyle{I=x\sin (\ln x)-x\cos(\ln x)-I\Leftrightarrow I=\frac{1}{2}\cdot(x\sin (\ln x)-x\cos (\ln x))+c.}$

Δίχως να το έχω ελέγξει αλλά όμοια διαδικασία θα ακολουθήσουμε και για το

.

EDIT

Ο κ. Λάμπρου προφανώς θα εννοεί τη σταθερά μετά τον υπολογισμό του ολοκληρώματος, την οποία πρόσθεσα. Τον ευχαριστώ για την παρατηρησή του.

Tolaso J Kos · #3

Γιώργο σωστός είσαι και για τα δύο. Άρα μένει το τελευταίο, δύσκολο... εκτός αν το δείτε.

Νύχτα!

BAGGP93 · #4

Για το τελευταίο :

Ολοκληρώνουμε είτε στο $\displaystyle{\left(-\infty,0\right)}$ είτε στο $\displaystyle{\left(0,+\infty\right)}$ .

Είναι :

$\displaystyle{9^{x}-4^{x}=3^{2\,x}-2^{2\,x}=\left(3^{x}-2^{x}\right)\,\left(3^{x}+2^{x}\right)=3^{2\,x}\,\left[1-\left(\frac{2}{3}\right)^{x}\right]\,\left[1+\left(\frac{2}{3}\right)^{x}\right]}$

και άρα

$\displaystyle{\begin{aligned} K&=\int \left(\frac{2}{3}\right)^{x}\,\dfrac{1}{\left[1-\left(\frac{2}{3}\right)^{x}\right]\,\left[1+\left(\frac{2}{3}\right)^{x}\right]}\,\rm{dx}\\&=\dfrac{1}{\ln\,2-\ln\,3}\,\int \dfrac{1}{\left[1-\left(\frac{2}{3}\right)^{x}\right]\,\left[1+\left(\frac{2}{3}\right)^{x}\right]}\,\rm{d\,\left[\left(\frac{2}{3}\right)^{x}\right]}\\&=\dfrac{1}{2\,\left(\ln\,2-\ln\,3\right)}\,\int \displaystyle{\dfrac{\left(1+\left(\frac{2}{3}\right)^{x}\right)+\left(1-\left(\frac{2}{3}\right)^{x}\right)}{\left[1-\left(\frac{2}{3}\right)^{x}\right]\,\left[1+\left(\frac{2}{3}\right)^{x}\right]}}\,\rm{d\,\left[\left(\frac{2}{3}\right)^{x}\right]}\\&=\dfrac{1}{2\,\left(\ln\,2-\ln\,3\right)}\,\int \left[\displaystyle{\dfrac{1}{1-\left(\frac{2}{3}\right)^{x}}+\dfrac{1}{1+\left(\frac{2}{3}\right)^{x}}}\right]\,\rm{d\,\left[\left(\frac{2}{3}\right)^{x}\right]}\\&=\dfrac{1}{2\,\left(\ln\,2-\ln\,3\right)}\,\left[\ln\,\left(1+\left(\frac{2}{3}\right)^{x}\right)-\ln\,\left|1-\left(\frac{2}{3}\right)^{x}\right|\right]+c\,,c\in\mathbb{R}\\&=\dfrac{1}{2\,\left(\ln\,2-\ln\,3\right)}\,\ln\,\left|\dfrac{3^{x}+2^{x}}{3^{x}-2^{x}}\right|+c\,,c\in\mathbb{R}\end{aligned}}$

Επαλήθευση

$\displaystyle{\dfrac{\rm{d}}{\rm{dx}}\,\left[\dfrac{1}{2\,\left(\ln\,2-\ln\,3\right)}\,\ln\,\left|\dfrac{3^{x}+2^{x}}{3^{x}-2^{x}}\right|\right]=}$

$\displaystyle{=\dfrac{1}{2\,\left(\ln\,2-\ln\,3\right)}\,\left[\dfrac{\left(3^{x}+2^{x}\right)'}{3^{x}+2^{x}}-\dfrac{\left(3^{x}-2^{x}\right)'}{3^{x}-2^{x}}\right]}$

$\displaystyle{=\dfrac{1}{2\,\left(\ln\,2-\ln\,3\right)}\,\left[\dfrac{3^{x}\,\ln\,3+2^{x}\,\ln\,2}{3^{x}+2^{x}}-\dfrac{3^{x}\,\ln\,3-2^{x}\,\ln\,2}{3^{x}-2^{x}}\right]}$

$\displaystyle{=\dfrac{1}{2\,\left(\ln\,2-\ln\,3\right)}\,\dfrac{\left(3^{x}\,\ln\,3+2^{x}\,\ln\,2\right)\,\left(3^{x}-2^{x}\right)-\left(3^{x}\,\ln\,3-2^{x}\,\ln\,2\right)\,\left(3^{x}+2^{x}\right)}{\left(3^{x}+2^{x}\right)\,\left(3^{x}-2^{x}\right)}}$

$\displaystyle{=\dfrac{1}{2\,\left(\ln\,2-\ln\,3\right)}\,\dfrac{\left(3^{2\,x}\,\ln\,3-3^{2\,x}\,\ln\,3\right)-2\,3^{x}\,2^{x}\,\left(\ln\,3-\ln\,2\right)+\left(2^{2\,x}\,\ln\,2-2^{2\,x}\,\ln\,2\right)}{3^{2\,x}-2^{2\,x}}}$

$\displastyle{=\dfrac{1}{2\,\left(\ln\,2-\ln\,3\right)}\,\dfrac{2\,2^{x}\,3^{x}\,\left(\ln\,2-\ln\,3\right)}{9^{x}-4^{x}}$

$\displaystyle{=\dfrac{2^{x}\,3^{x}}{9^{x}-4^{x}}$

dr.tasos · #5

Παιδια εγω για το τρίτο είδα το εξής :

$\int\frac{1}{(\frac{3}{2})^x-(\frac{2}{3})^x}dx$

$u=(\frac{3}{2})^x$

$du=ln(3/2)(\frac{3}{2})^x dx$

$\int \frac{ln(2/3)}{u^2-1}du$

Και απο δω και πέρα κατα τα γνωστά με ανάλυση σε απλά .

Εδιτ : Ρε θηρίο που το έγραψες αυτο το πράμα τοσο γρήγορα ;

#6

G.Bas έγραψε: $\displaystyle{I=x\sin (\ln x)-x\cos(\ln x)-I\Leftrightarrow I=\frac{1}{2}\cdot(x\sin (\ln x)-x\cos (\ln x)).}$

Για ξαναδές το παραπάνω για μία μικρή αλλά ουσιαστική παράλειψη.

Μ.

Υ.Γ. Είμαι μεταξύ αεροδρομίων και δεν μπορώ να γράψω περισσότερα.
Επιφυλάσσομαι για αργότερα, αν χρειαστεί.

3 όμορφα ολοκληρώματα

3 όμορφα ολοκληρώματα

Re: 3 όμορφα ολοκληρώματα

Re: 3 όμορφα ολοκληρώματα

Re: 3 όμορφα ολοκληρώματα

Re: 3 όμορφα ολοκληρώματα

Re: 3 όμορφα ολοκληρώματα

Μέλη σε σύνδεση