Μια ανισότητα του van der Corput!

#1

Ξεφυλλίζοντας το κλασικό βιβλίο Analytic Inequalities του Dragoslav S. Mitrinović, στη σελίδα 237 έπεσα σε μια ανισότητα του van der Corput, η οποία παρατίθεται χωρίς απόδειξη.

$\displaystyle{\boxed{\color{blue}\rm \bf a,b\in [0,\pi]\implies |\cos a-\cos b|\geq |a-b|\sqrt{\sin a\sin b}}}$

Η απόδειξη που βρήκα είναι φυσικά με ανάλυση. Μπορούμε να βρούμε τριγωνομετρική απόδειξη;

$\displaystyle{\color{red}\rule{500pt}{1pt}}$

Atemlos · #2

H αρχική ισότητα γράφεται σαν

$\left| 2 \sin \frac{a+b}{2} \sin \frac{a-b}{2} \right| \geq \left| b-a \right| \sqrt{\frac{\cos(a-b)-\cos(a+b)}{2}}$

Έστω $x=\frac{a+b}{2}$ και $y=\frac{a-b}{2}$ η ανίσωση γίνεται

$4 \sin^{2}x \ \sin^{2}y \geq 4y^{2} \left( \frac{(1-2\sin^{2} y) -(1-2\sin^{2} x)}{2} \right)$

που είναι ισοδύναμη με

$y^{2} \sin^{2}y - \sin^{2} x \left( y^{2} - \sin^{2} y \right) \geq 0$

Επειδή $y^{2} - \sin^{2} y \geq 0$ και $\sin^{2} x \leq 1$ αρκεί να δείξω οτι $y^{2} \sin^{2}y-(y^{2} - \sin^{2} y) \geq 0$

η $\sin^{2} y \geq y^{2} \cos^{2} y$ που ισχύει αφού $\tan |y| \geq |y|$

#3

Atemlos έγραψε:H αρχική ισότητα γράφεται σαν

$\left| 2 \sin \frac{a+b}{2} \sin \frac{a-b}{2} \right| \geq \left| b-a \right| \sqrt{\frac{\cos(a-b)-\cos(a+b)}{2}}$

Έστω $x=\frac{a+b}{2}$ και $y=\frac{a-b}{2}$ η ανίσωση γίνεται

$4 \sin^{2}x \ \sin^{2}y \geq 4y^{2} \left( \frac{(1-2\sin^{2} y) -(1-2\sin^{2} x)}{2} \right)$

που είναι ισοδύναμη με

$y^{2} \sin^{2}y - \sin^{2} x \left( y^{2} - \sin^{2} y \right) \geq 0$

Επειδή $y^{2} - \sin^{2} y \geq 0$ και $\sin^{2} x \leq 1$ αρκεί να δείξω οτι $y^{2} \sin^{2}y-(y^{2} - \sin^{2} y) \geq 0$

η $\sin^{2} y \geq y^{2} \cos^{2} y$ που ισχύει αφού $\tan |y| \geq |y|$

Να ενημερώσω τον κύριο Μιχαηλίδη (Atemlos) ότι είναι τουλάχιστον ανήθικο να πλασάρουμε λύσεις άλλων σαν δικές μας! Στο κάτω κάτω, αν δεν μπορούμε να δώσουμε απόδειξη σε ένα πρόβλημα, αφήνουμε να το λύσει κάποιος άλλος που μπορεί!

#4

Πέρα από τα προηγούμενα, ας αναφερθεί ότι ισχύει και η ισχυρότερη ανισότητα

$\displaystyle{\boxed{|\cos a-\cos b|\geq |a-b|\frac{\sin a+\sin b}{2}~~\forall a,b\in [0,\pi]}}$

Μια απόδειξη μπορεί να γίνει όπως η απόδειξη του Li Lai εδώ.

Πιο σύντομα, μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι, αν υποθέσουμε χωρίς βλάβη της γενικότητας, ότι $\displaystyle{b>a}$ , από το κοίλο της συνάρτησης $\displaystyle{\sin x, x\in [0,\pi]}$ και την ανισότητα Hermite-Hadamard έχουμε

$\displaystyle{\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}\sin xdx>\frac{\sin a+\sin b}{2}}$

δηλαδή η ζητούμενη.

G.Bas · #5

matha έγραψε:Ξεφυλλίζοντας το κλασικό βιβλίο Analytic Inequalities του Dragoslav S. Mitrinović, στη σελίδα 237 έπεσα σε μια ανισότητα του van der Corput, η οποία παρατίθεται χωρίς απόδειξη.

$\displaystyle{\boxed{\color{blue}\rm \bf a,b\in [0,\pi]\implies |\cos a-\cos b|\geq |a-b|\sqrt{\sin a\sin b}}}$

Η απόδειξη που βρήκα είναι φυσικά με ανάλυση. Μπορούμε να βρούμε τριγωνομετρική απόδειξη;

$\displaystyle{\color{red}\rule{500pt}{1pt}}$

Γειά σου Θάνο!

Μια απόδειξη που βρήκα είναι η εξής:

Ισχύει σύμφωνα με την Ανισότητα AM-GM

$\displaystyle{|a-b|\sqrt{\sin a\sin b}\leq\frac{\sin a+\sin b}{2}|a-b|}$ οπότε είναι αρκετό να δείξουμε την

$\displaystyle{|a-b|(\sin a+\sin b)\leq 2|\cos a-\cos b|.}$ Επειδή όμως $\displaystyle{\cos a-\cos b=2\sin\frac{a+b}{2}\cdot\sin\frac{b-a}{2}}$ και $\displaystyle{\sin a+\sin b=2\sin\frac{a+b}{2}\cdot\cos\frac{a-b}{2}}$ η προς απόδειξη Ανισότητα γράφεται

$\displaystyle{4\sin\frac{a+b}{2}\cdot\sin\frac{b-a}{2}\geq 2|a-b|\sin\frac{a+b}{2}\cdot\cos\frac{a-b}{2}}$ ή καλύτερα

$\displaystyle{2\sin\frac{b-a}{2}\geq |a-b|\cos\frac{a-b}{2}=|a-b|\cos\frac{b-a}{2}}$ η οποία τελικά παίρνει τη μορφή

$\displaystyle{\tan\frac{b-a}{2}\geq\frac{|b-a|}{2}}$ όπου σαφώς και ισχύει.

Atemlos · #6

matha έγραψε:
Atemlos έγραψε:H αρχική ισότητα γράφεται σαν

$\left| 2 \sin \frac{a+b}{2} \sin \frac{a-b}{2} \right| \geq \left| b-a \right| \sqrt{\frac{\cos(a-b)-\cos(a+b)}{2}}$

Έστω $x=\frac{a+b}{2}$ και $y=\frac{a-b}{2}$ η ανίσωση γίνεται

$4 \sin^{2}x \ \sin^{2}y \geq 4y^{2} \left( \frac{(1-2\sin^{2} y) -(1-2\sin^{2} x)}{2} \right)$

που είναι ισοδύναμη με

$y^{2} \sin^{2}y - \sin^{2} x \left( y^{2} - \sin^{2} y \right) \geq 0$

Επειδή $y^{2} - \sin^{2} y \geq 0$ και $\sin^{2} x \leq 1$ αρκεί να δείξω οτι $y^{2} \sin^{2}y-(y^{2} - \sin^{2} y) \geq 0$

η $\sin^{2} y \geq y^{2} \cos^{2} y$ που ισχύει αφού $\tan |y| \geq |y|$
Να ενημερώσω τον κύριο Μιχαηλίδη (Atemlos) ότι είναι τουλάχιστον ανήθικο να πλασάρουμε λύσεις άλλων σαν δικές μας! Στο κάτω κάτω, αν δεν μπορούμε να δώσουμε απόδειξη σε ένα πρόβλημα, αφήνουμε να το λύσει κάποιος άλλος που μπορεί!

Σε ευχαριστω για το μαθημα ηθικης. Βεβαια θα μπορουσες να ερθεις σε επαφη μου μαζι μου εφοσον γνωριζες ποιος ειμαι απο πριν ετσι; Η αναγκη σου να διαβαλεις καποιον συναδελφο λεει πολλα.Λυπαμαι πολυ για σενα.

Atemlos · #7

Atemlos έγραψε:
matha έγραψε:
Atemlos έγραψε:H αρχική ισότητα γράφεται σαν

$\left| 2 \sin \frac{a+b}{2} \sin \frac{a-b}{2} \right| \geq \left| b-a \right| \sqrt{\frac{\cos(a-b)-\cos(a+b)}{2}}$

Έστω $x=\frac{a+b}{2}$ και $y=\frac{a-b}{2}$ η ανίσωση γίνεται

$4 \sin^{2}x \ \sin^{2}y \geq 4y^{2} \left( \frac{(1-2\sin^{2} y) -(1-2\sin^{2} x)}{2} \right)$

που είναι ισοδύναμη με

$y^{2} \sin^{2}y - \sin^{2} x \left( y^{2} - \sin^{2} y \right) \geq 0$

Επειδή $y^{2} - \sin^{2} y \geq 0$ και $\sin^{2} x \leq 1$ αρκεί να δείξω οτι $y^{2} \sin^{2}y-(y^{2} - \sin^{2} y) \geq 0$

η $\sin^{2} y \geq y^{2} \cos^{2} y$ που ισχύει αφού $\tan |y| \geq |y|$
Να ενημερώσω τον κύριο Μιχαηλίδη (Atemlos) ότι είναι τουλάχιστον ανήθικο να πλασάρουμε λύσεις άλλων σαν δικές μας! Στο κάτω κάτω, αν δεν μπορούμε να δώσουμε απόδειξη σε ένα πρόβλημα, αφήνουμε να το λύσει κάποιος άλλος που μπορεί!

Σε ευχαριστω για το μαθημα ηθικης. Βεβαια θα μπορουσες να ερθεις σε επαφη μου μαζι μου εφοσον γνωριζες ποιος ειμαι απο πριν ετσι; Η αναγκη σου να διαβαλεις καποιον συναδελφο λεει πολλα.Λυπαμαι πολυ για σενα.

#8

Atemlos έγραψε:
Σε ευχαριστω για το μαθημα ηθικης. Βεβαια θα μπορουσες να ερθεις σε επαφη μου μαζι μου εφοσον γνωριζες ποιος ειμαι απο πριν ετσι; Η αναγκη σου να διαβαλεις καποιον συναδελφο λεει πολλα.Λυπαμαι πολυ για σενα.

Δεν κατάλαβα! Να σε ενημερώσω για ποιο πράγμα; Ότι συνελήφθης επ' αυτοφόρω; Δεν είμαστε καλά! Μάλλον έχεις παρεξηγήσει ορισμένα πράγματα.

Δεύτερον και κυριότερον! Δεν διέβαλα κανέναν! Αντί να έχεις το θάρρος να παραδεχτείς το ατόπημα ζητάς και τα ρέστα. Ήμαρτον!

Atemlos · #9

matha έγραψε:
Atemlos έγραψε:
Σε ευχαριστω για το μαθημα ηθικης. Βεβαια θα μπορουσες να ερθεις σε επαφη μου μαζι μου εφοσον γνωριζες ποιος ειμαι απο πριν ετσι; Η αναγκη σου να διαβαλεις καποιον συναδελφο λεει πολλα.Λυπαμαι πολυ για σενα.
Δεν κατάλαβα! Να σε ενημερώσω για ποιο πράγμα; Ότι συνελήφθης επ' αυτοφόρω; Δεν είμαστε καλά! Μάλλον έχεις παρεξηγήσει ορισμένα πράγματα.

Δεύτερον και κυριότερον! Δεν διέβαλα κανέναν! Αντί να έχεις το θάρρος να παραδεχτείς το ατόπημα ζητάς και τα ρέστα. Ήμαρτον!

Aν θελεις να βρεθουμε να μιλησουμε αντρικα και παντελονωτα ...ελπιζω να μην κρυφτεις πισω απο το πληκτρολογιο ...εγω δεν κρυβομαι οπως βλεπεις

Edit Aπεσυρα τον χαρακτηρισμο...

Atemlos · #10

Θα ηθελα να ευχαριστησω το φορουμ για την φιλοξενια ολα αυτα τα χρονια.Γνωρισα μεγαλους μαθηματικους και 'εμαθα' πραγματα.Θα ημουνα 'ολιγος' αν δεν το παραδεχομουν.Δυστυχως η ανανδρη ,δολια, υπουλη επιθεση απο μελος του φορουμ δεν μου επιτρεπει να συνεχισω.

Ευχομαι καλη συνεχεια σε ολους.

Μια ανισότητα του van der Corput!

Μια ανισότητα του van der Corput!

Re: Μια ανισότητα του van der Corput!

Re: Μια ανισότητα του van der Corput!

Re: Μια ανισότητα του van der Corput!

Re: Μια ανισότητα του van der Corput!

Re: Μια ανισότητα του van der Corput!

Re: Μια ανισότητα του van der Corput!

Re: Μια ανισότητα του van der Corput!

Re: Μια ανισότητα του van der Corput!

Αποχώρηση

Μέλη σε σύνδεση