Αναγωγικός Τύπος

Tolaso J Kos · #1

Δε ξέρω αν είναι γνωστό, αλλά τώρα το πρωτοσυνάντησα
Να βρεθεί αναγωγικός τύπος για το $\displaystyle{I_n=\int \left ( \sin^{-1} (x)\right )^ndx}$

kostas_zervos · #2

Tolaso J Kos έγραψε:Δε ξέρω αν είναι γνωστό, αλλά τώρα το πρωτοσυνάντησα
Να βρεθεί αναγωγικός τύπος για το $\displaystyle{I_n=\int \left ( \sin^{-1} (x)\right )^ndx}$

Καλησπέρα σε όλους...

Έχουμε ...

$\displaystyle I_{n+2}=\int \left(\sin^{-1}(x)\right)^{n+2}\;dx=\int (x)'\cdot\left(\sin^{-1}(x)\right)^{n+2}\;dx=$

$\displaystyle =x\cdot \left(\sin^{-1}(x)\right)^{n+2}-(n+2)\int\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}} \left(\sin^{-1}(x)\right)^{n+1}\;dx=$

$\displaystyle =x\cdot \left(\sin^{-1}(x)\right)^{n+2}+(n+2)\int\left(\sqrt{1-x^2}\right)' \left(\sin^{-1}(x)\right)^{n+1}\;dx=$

$\displaystyle =x\cdot \left(\sin^{-1}(x)\right)^{n+2}+(n+2)\sqrt{1-x^2}\cdot \left(\sin^{-1}(x)\right)^{n+1}-(n+1)(n+2)\int\sqrt{1-x^2}\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \left(\sin^{-1}(x)\right)^{n}\;dx=$

$\displaystyle =x\cdot \left(\sin^{-1}(x)\right)^{n+2}+(n+2)\sqrt{1-x^2}\cdot \left(\sin^{-1}(x)\right)^{n+1}-(n+1)(n+2)\cdot I_n$ .

Τέλος υπολογίζουμε τα

$\displaystyle I_1=\int \sin^{-1}(x)\;dx=\int (x)'\sin^{-1}(x)\;dx=x\sin^{-1}(x)-\int \dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\;dx=$

$\displaystyle =x\sin^{-1}(x)+\sqrt{1-x^2}+c$ και

$\displaystyle I_2=\int \left(\sin^{-1}(x)\right)^{2}\;dx=x\left(\sin^{-1}(x)\right)^{2}-2\int \dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\sin^{-1}(x)\;dx=$

$\displaystyle =x\left(\sin^{-1}(x)\right)^{2}+2\int \left(\sqrt{1-x^2}\right)'\sin^{-1}(x)\;dx=$

$\displaystyle =x\left(\sin^{-1}(x)\right)^{2}+2\left(\sqrt{1-x^2}\right)\sin^{-1}(x)-2\int \left(\sqrt{1-x^2}\right)\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\;dx=$

$\displaystyle =x\left(\sin^{-1}(x)\right)^{2}+2\left(\sqrt{1-x^2}\right)\sin^{-1}(x)-2x+c$ .

(...ελπίζω χωρίς λάθη.... , τελικά υπήρχαν , ευχαριστώ τον Παπαπέτρο Βαγγέλη (BAGGP93) που τα πρόσεξε.)

Αναγωγικός Τύπος

Αναγωγικός Τύπος

Re: Αναγωγικός Τύπος

Μέλη σε σύνδεση