, με 4 γνωστές πλευρές , θεωρούμε γνωστό ότι το εμβαδόν του ,μεγιστοποιείται , όταν καταστεί κυκλικό ( όταν δηλαδή , εγγραφεί σε κύκλο) .
1) Να δειχθεί ότι το εμβαδόν κυκλικού τετραπλεύρου
, είναι ανεξάρτητο της σειράς των πλευρών του !Σημείωση : Να διερευνηθεί η αξιοποίηση του τύπου του Brahmagupta στο πρόβλημα.
ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΓΙΑ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ :
2) Αν είναι γνωστές οι 3 πλευρές του , για ποιά τιμή της 4ης πλευράς , επιτυγχάνεται η μεγιστοποίηση του εμβαδού του ; Παράδειγμα :
. Εικασία : Η μεγιστοποίηση επιτυγχάνεται , αν η τέταρτη πλευρά γίνει η διάμετρος του κύκλου , στον οποίο εγγράψαμε το τετράπλευρο !
, όπου 
η ημιπερίμετρος του τετραπλεύρου .
, το οποίο μεγιστοποιείται όταν μεγιστοποιηθεί το υπόρριζο
, πράγμα που μπορούμε ( με παραγώγους και εν ανάγκη λογισμικό ) , 
. Αν λοιπόν κατασκευάσω ημικύκλιο διαμέτρου 
,
, προκύπτει ότι 
, πράγμα που ισχυροποιεί την πιθανότητα
![16(s-a)(s-b)(s-c)(s-x)=(b+c+x-a)(a+c+x-b)(a+b+x-c)(a+b+c-x)=[(x+c)^2-(a-b)^2][-(x-c)^2+(a+b)^2]=-(x^2-c^2)^2+(a+b)^2(x+c)^2+(a-b)^2(x-c)^2-(a^2-b^2)^2](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/77241776b8750ab1234b6289373e7c21.png "16(s-a)(s-b)(s-c)(s-x)=(b+c+x-a)(a+c+x-b)(a+b+x-c)(a+b+c-x)=[(x+c)^2-(a-b)^2][-(x-c)^2+(a+b)^2]=-(x^2-c^2)^2+(a+b)^2(x+c)^2+(a-b)^2(x-c)^2-(a^2-b^2)^2")
![-2(x^2-c^2)2x+[(a+b)^2+(a-b)^2]2x-2c[-(a+b)^2+(a-b)^2]=0\leftrightarrow x^3-(a^2+b^2+c^2)x-2abc=0.](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/9c1f49a7f23861f5b1ef0664a71b729a.png "-2(x^2-c^2)2x+[(a+b)^2+(a-b)^2]2x-2c[-(a+b)^2+(a-b)^2]=0\leftrightarrow x^3-(a^2+b^2+c^2)x-2abc=0.")
όπου 
η ακτίνα του περίκυκλου, ισχύουν οι
και, από Θεώρημα Πτολεμαίου, η 
)]
και 
, τεμνόμενοι από μεταβλητό κύκλο χορδής 
στα 
και 
, αντίστοιχα. Να δειχθεί ότι το 
μεγιστοποιείται όταν η 
είναι διάμετρος του μεταβλητού κύκλου.