Πλεονεξία 2

KARKAR · #1

: Πλεονεξία.png (18.63 KiB) Προβλήθηκε 1038 φορές

Ο κύκλος

, που έχει το κέντρο του πάνω στον κύκλο (O,R)

,

τον τέμνει στα A,B

. Σημείο

κινείται επί του (K)

και η

τέμνει

την

στο

. Αναζητούμε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου AST

.

sakis1963 · #2

: Πλεονεξία 2 (KARKAR).png (19.64 KiB) Προβλήθηκε 974 φορές

Γειά σου Θανάση !

$E=(AST)=\dfrac{x(h+y)}{2}$

όμοια τρίγωνα : $\dfrac{b}{a}=\dfrac{w}{y}=\dfrac{x}{R/2}$ ....(1)

τεμνόμενες χορδές : ab=(h+y)(h-y)=h^2-y^2

....(2)

Π.Θ. : $a^2=y^2+\dfrac{R^2}{4}$ ....(3)

Ο συνδυασμός των (1), (2), (3) δίνει : $y=\sqrt{\dfrac{h^2-xR/2}{1+2x/R}}$ ,

που με $h=R\dfrac{\sqrt3}{2}$ γίνεται : $y=\dfrac{R}{2}\sqrt{\dfrac{3-2x/R}{1+2x/R}}$ και αντικαθιστώντας στον τύπο του εμβαδού :

$E(x)=\dfrac{x}{4}(\sqrt3+R\sqrt{\dfrac{3-2x/R}{1+2x/R}})$ για την οποία ο Wolfram δίνει σημείο μεγίστου (με R=1

για ευκολία),

το $x=\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}(1+\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}) \approx 1.423661$ και $E_{max}=\dfrac{\sqrt3}{2} \dfrac{1}{\sqrt[3]{2}} \approx 0.6873648$

αφιερώνω τη λύση στον 3ο μου γιο Δήμο, για την εισαγωγή του στη σχολή "Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών στο πολυτεχνείο Πατρών"

KARKAR · #3

Σάκη , συγχαρητήρια στο γιό και στους γονείς και καλές σπουδές να έχει !

: Πλεονεξία 2.png (14.4 KiB) Προβλήθηκε 952 φορές

Μια αντιμετώπιση με χρήση συντεταγμένων , ίσως απλουστεύει κάπως τα πράγματα .

Θεωρώντας ως άξονα y'y

τον φορέα της κοινής χορδής

και με

και

, η τομή του κύκλου (K)

με την ευθεία

έχει τετμημένη $\dfrac{3-t^2}{t^2+1}$ .

Συνεπώς $(ATS)=E(t)=\dfrac{(3-t^2)(\sqrt{3}-t)}{2(t^2+1)}$ , που με λογισμικό βρίσκουμε ότι :

$E_{max}=2.749459$ για x=0.19921

.

sakis1963 · #4

Ευχαριστώ πολύ Θανάση !

Σαν σημείο νομίζω είναι το ίδιο, απλώς εγώ αντέστρεψα τα A, B

για να τα βλέπω "θετικά"

πράγματι για R=2

το $E_{max}=2.74945927$ για x=2.847322

Πλεονεξία 2

Πλεονεξία 2

Re: Πλεονεξία 2

Re: Πλεονεξία 2

Re: Πλεονεξία 2

Μέλη σε σύνδεση