Κλίνω υπέρ του Χ

KARKAR · #1

: Κλίνω υπέρ του Χ.png (14.22 KiB) Προβλήθηκε 317 φορές

Στις κάθετες πλευρές AB , AC

του ορθογωνίου τριγώνου ABC

, θεωρούμε τυχόντα σημεία

S , P

αντίστοιχα . Εξετάστε αν αληθεύει η εικασία ότι : SP+BC < SC+PB

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 03, 2026 7:48 pm
Κλίνω υπέρ του Χ.pngΣτις κάθετες πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου , θεωρούμε τυχόντα σημεία

αντίστοιχα . Εξετάστε αν αληθεύει η εικασία ότι : .

.

: κλίν.png (15 KiB) Προβλήθηκε 298 φορές

.
Πρόκειται για πάρα πολύ κοινή ανισότητα που υπάρχει σε πάμπολλα βιβλία. Υπόψη δεν χρειάζεται η γωνία

να είναι ορθή.

SP+BC < (SO+OP)+(BO+OC) = (SO+OC)+(BO+OP)= SC+PB

KARKAR · #3

Η άσκηση είναι προφανώς σε λάθος φάκελο . Θεώρησα ότι πιθανότατα θα λυθεί με την

- κάπως δυσκολότερη - σύγκριση , με πολλαπλή χρήση του Πυθαγορείου Θεωρήματος ,
αλλά και πάλι δεν ταιριάζει εδώ ...

KARKAR · #4

: Υπέρ του Χ.png (9.82 KiB) Προβλήθηκε 212 φορές

Η λύση του Μιχάλη τελειώνει το θέμα . Ως ... απολογία , γράφω την λύση μου : Θέλω να δείξω ότι για : x<b , y< c

:

$\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{b^2+c^2} < \sqrt{x^2+c^2}+\sqrt{y^2+b^2}$ . Τετραγωνίζοντας και απλοποιώντας , έχουμε ισοδύναμα :

$\sqrt{(x^2+y^2)(b^2+c^2)} < \sqrt{(x^2+c^2)(y^2+b^2)}$ , ισοδύναμα : x^2(c^2-y^2) <b^2(c^2-y^2)

, η οποία

ισχύει λόγω των αρχικών περιορισμών .

KARKAR · #5

: Περίμετρος προς άθροισμα διαγωνίων.png (11.95 KiB) Προβλήθηκε 160 φορές

Αξιοποιώντας τα παραπάνω , έχουμε ότι για κυρτό τετράπλευρο με πλευρές a,b,c,d

και διαγωνίους x,y

:

, συνεπώς : $\dfrac{a+b+c+d}{x+y} <2$ .

Μπορούμε άραγε να βρούμε τα ακρότατα ή έστω καλύτερα φράγματα του λόγου αυτού ;

Παιχνίδι : Σχεδιάστε ένα κυρτό τετράπλευρο στο οποίο να είναι : $\dfrac{a+b+c+d}{x+y}=\dfrac{3}{2}$ .

#6

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 05, 2026 5:57 am
Περίμετρος προς άθροισμα διαγωνίων.pngΑξιοποιώντας τα παραπάνω , έχουμε ότι για κυρτό τετράπλευρο με πλευρές και διαγωνίους :

, συνεπώς : $\dfrac{a+b+c+d}{x+y} <2$ .

Μπορούμε άραγε να βρούμε τα ακρότατα ή έστω καλύτερα φράγματα του λόγου αυτού ;

Παιχνίδι : Σχεδιάστε ένα κυρτό τετράπλευρο στο οποίο να είναι : $\dfrac{a+b+c+d}{x+y}=\dfrac{3}{2}$ .

.

: ρόμβος.png (1.71 KiB) Προβλήθηκε 137 φορές

.
Το άνω φράγμα

δεν μπορούμε να το βελτιώσουμε. Για παράδειγμα ένας ρόμβος με πλευρά

και την διαγώνιο $x\to 0$ έχει την άλλη διαγώνιο $y\to 2a$ . Άρα

$\dfrac{a+b+c+d}{x+y} \to \dfrac{4a}{0+2a}=2$

Συνεπώς δεν υπάρχει άνω φράγμα μικρότερο του

.

Το $\dfrac{a+b+c+d}{x+y}=\dfrac{3}{2}$ μπορούμε να το πετύχουμε, πάλι με ρόμβο. Δεν έχουμε παρά να διαλέξουμε τις διαγωνίους του έτσι ώστε

$\dfrac{3}{2}= \dfrac{a+b+c+d}{x+y}=\dfrac{4a}{x+y}=\dfrac{4\sqrt {\left ( \dfrac {x}{2}\right )^2 + \left ( \dfrac {y}{2}\right ) ^2 }}{x+y}$

ισοδύναμα 7x^2-18xy+7y^2=0

, δηλαδή $y= \dfrac {9+4\sqrt 2}{7} x$

Κλίνω υπέρ του Χ

Κλίνω υπέρ του Χ

Re: Κλίνω υπέρ του Χ

Re: Κλίνω υπέρ του Χ

Re: Κλίνω υπέρ του Χ

Re: Κλίνω υπέρ του Χ

Re: Κλίνω υπέρ του Χ

Μέλη σε σύνδεση