Ο ρόμβος ως ξεχωριστό περιγράψιμο τετράπλευρο

#8

vittasko έγραψε:ΛΗΜΜΑ. - Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $\vartriangle ABC$ με και έστω το μέσον της πλευράς του Με κέντρο το γράφουμε τον κύκλο ο οποίος εφάπτεται των πλευρών $AB,\ AC,$ στα σημεία $S,\ T,$ αντιστοίχως. Τυχούσα εφαπτομένη του κύκλου τέμνει τις ευθείες $AB,\ AC,$ στα σημεία έστω $D,\ E,$ αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι $(BD)(CE) = (MB)^{2} = (MC)^{2}$ .

: Ο ρόμβος ως ξεχωριστό περιγράψιμο τετράπλευρο - Θεώρημα Newton (b) - Απόδειξη του Λήμματος.; f=62_t=31445(a).PNG (24.16 KiB) Προβλήθηκε 3357 φορές

$\bullet$ Έστω

το συμμετρικό σημείο του

ως προς την ευθεία

και ισχύει προφανώς $BZ = CE\ \ \ ,(1)$

Από $\angle DZM = \angle MEC$ λόγω συμμετρίας του σχήματος και $\angle MEC = \angle DEM$ γιατί το

είναι το

-παράκεντρο του τριγώνου $\vartriangle ADE$ , προκύπτει ότι $\angle DZM = \angle DEM\ \ \ ,(2)$

Από (2)

, συμπεραίνεται ότι το τετράπλευρο DMEZ

είναι εγγράψιμο σε κύκλο έστω (K),

ο οποίος εφάπτεται της πλευράς

στο

λόγω του ισοσκελούς τριγώνου $\vartriangle MEZ$ και $BC\perp MA\equiv MK,$ όπου

είναι το κέντρο του κύκλου (K).

Άρα, ισχύει $(BD)(BZ) = (BM)^{2}\ \ \ ,(3)$

Από $(1),\ (3)$ $\Longrightarrow$ $(BD)(CE) = (MB)^{2} = (MC)^{2}$ και το Λήμμα έχει αποδειχθεί.

$\bullet$ Με παρόμοιο τρόπο αποδεικνύεται το Λήμμα, αν η εφαπτομένη του κύκλου (M)

τέμνει τις προεκτάσεις των πλευρών του δοσμένου ισοσκελούς τριγώνου $\vartriangle ABC.$

Κώστας Βήττας.

ΥΓ (14-09-2019) Δείτε Εδώ, μία άλλη απόδειξη του ως άνω Λήμματος από τον Γιώργο Βισβίκη.

#9

Ποιες άλλες βασικές ιδιότητες (πλην της $|OA|\cdot |OC|=|OB|\cdot |OD|$ ) χαρακτηρίζουν τον αντιρόμβο, το περιγράψιμο δηλαδή τετράπλευρο ABCD

στο οποίο έγκεντρο και βαρύκεντρο συμπίπτουν στο

(και το οποίο δεν έχει παράλληλες πλευρές); Στο συνημμένο δείχνω 'χωρίς λόγια' πως ο αντιρόμβος προκύπτει ως 'τομή' τεσσάρων (στην πραγματικότητα οκτώ) ρόμβων ( AA'A''A'''

,

):

Γιώργος Μπαλόγλου

#10

Είπα να το δω και λίγο υπολογιστικά το θέμα ... και έμπλεξα άσχημα

Ας πούμε λοιπόν ότι αναζητούμε έναν αντιρόμβο -- περιγράψιμο τετράπλευρο με ταυτιζόμενα έγκεντρο και βαρύκεντρο που δεν είναι ρόμβος -- που έχει ως δοθείσα κορυφή την A=(-3, 0)

, εγγεγραμμένο κύκλο τον x^2+y^2=1

, και ως βαρύκεντρο/έγκεντρο το O=(0, 0)

. Αν οι άλλες κορυφές είναι οι B=(p, q), C=(s, t), D=(u, v),

η βαρυκεντρική απαίτηση μας δίνει αμέσως s=3-p-u, t=-q-v

. Τι μπορούμε να πούμε για τις υπόλοιπες κορυφές (και τα p, q, u, v

), και πόσες/ποιές λύσεις υπάρχουν;

Στην προσέγγιση μου ζητώ να είναι ίσες προς

(ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου) οι αποστάσεις του

από τις

. Χρησιμοποιώντας τον τύπο εξίσωσης ευθείας διερχόμενης από δύο σημεία και τον τύπο απόστασης σημείου από ευθεία καταλήγουμε στις αντίστοιχες εξισώσεις

(p+3)^2=8q^2,

Ανάλογα με το αν θα χρησιμοποιήσουμε το

ή το

για τα

στις δύο ακριανές εξισώσεις, οι δύο μεσαίες εξισώσεις μας δίνουν τέσσερα συστήματα, που είναι στην πραγματικότητα δύο, και από τα οποία μόνο το ένα μας δίνει λύσεις: εδώ παραλείπω κάποιες λεπτομέρειες, αλλά το κρίσιμο σύστημα είναι (με $q=\displaystyle\frac{p+3}{\sqrt{8}}, v=-\displaystyle\frac{u+3}{\sqrt{8}}$ ) το

$(p\cdot \displaystyle\frac{u+3}{\sqrt{8}}+(u-3)\cdot \displaystyle\frac{p+3}{\sqrt{8}})^2=(2\cdot \displaystyle\frac{p+3}{\sqrt{8}}-\displaystyle\frac{u+3}{\sqrt{8}})^2+(3-2p-u)^2$

$(-(p-3)\cdot \displaystyle\frac{u+3}{\sqrt{8}}-u\cdot \displaystyle\frac{p+3}{\sqrt{8}})^2=(-2\cdot \displaystyle\frac{u+3}{\sqrt{8}}+\displaystyle\frac{p+3}{\sqrt{8}})^2+(3-p-2u)^2.$

Οι εκπλήξεις δεν σταματούν εδώ... Οι δύο παραπάνω εξισώσεις δίνουν, με την εξαίρεση κάποιων 'τετριμμένων' λύσεων -- παραλείπω και εδώ κάποιες λεπτομέρειες -- τις ίδιες ακριβώς λύσεις, αναγόμενες στις

$p=-\displaystyle\frac{3u^2-16u+21}{u^2-9}$ και $u=-\displaystyle\frac{3p^2-16p+21}{p^2-9},$

αντίστοιχα: βεβαίως δεν είναι καθόλου προφανές -- ούτε καν σε μένα, προφανώς μου διαφεύγει κάτι -- ότι οι δύο εξισώσεις/τύποι δίνουν τις ίδιες λύσεις, αλλά είναι αληθές (και επαληθεύεται και με γραφήματα)!

Ως παράδειγμα επιλέγω p=0,2

, οπότε

(ή αντίστροφα), και, χάρις στους προηγηθέντες τύπους, $q\approx 1,13, v\approx -1,76, s=0,8, t\approx 0,63$ : ο αντίστοιχος αντιρόμβος εικονίζεται στο συνημμένο (επαληθεύοντας πανηγυρικά τα παραπάνω)

[Ισχύει και η μυστηριώδης $|OA|\cdot |OC|=|OB|\cdot |OD|$ , καθώς $3\cdot 1,0182\approx 1,1475\cdot 2,6641\approx 3,057$ ]

[Φυσικά τα περισσότερα τετράπλευρα που προκύπτουν από τις 'σχέσεις απόστασης' και τους 'δυϊκούς' μας τύπους δεν είναι καν κυρτά, φαίνεται όμως πως για κάθε

μεταξύ

και

προκύπτει ένας αντιρόμβος με εγγεγραμμένο κύκλο τον x^2+y^2=1

, ενώ ο πολυτιμότατος και εντιμότατος ρόμβος (με μία κορυφή στο (-3, 0)

και εγγεγραμμένο κύκλο τον x^2+y^2=1

) προκύπτει από την τετριμμένη λύση p=u=0

. (Πρέπει να σημειωθεί ότι για p=0

η $u=-\displaystyle\frac{3p^2-16p+21}{p^2-9}$ δίνει $u\approx 2,33$ ... και έναν ακόμη αντιρόμβο με κορυφές (-3, 0), (0, 1,06), (0,67, 0,82), (2,33, -1,88)

(κάτι που δεν πρέπει να μας εκπλήσσει, αφού αντιρόμβοι υπάρχουν και για κάποια αρνητικά

, πχ

... αλλά, τελικά, και για κάποια p>1

, πχ

)]

Γιώργος Μπαλόγλου

#11

Απουσιάζει από την παραπάνω συζήτηση ο διασημότερος όλων των αντιρόμβων, το ισοσκελές τραπέζιο -- περιγεγραμμένο στον x^2+y^2=1

και με μία κορυφή την A=(-3,0)

πάντοτε -- με κορυφές

A=(-3,0)

, $B=(0, \displaystyle\frac{3}{2\sqrt{2}})$ , $C=(\displaystyle\frac{2}{3}, \displaystyle\frac{7}{6\sqrt{2}})$ , $D=(\displaystyle\frac{7}{3},-\displaystyle\frac{8}{3\sqrt{2}})$ ,

που είναι βέβαια πολύ πολύ κοντά στον αντιρόμβο του αμέσως προηγούμενου σχήματος

Το ισοσκελές αυτό τραπέζιο (με $|AB|=|CD|=\displaystyle\frac{9}{2\sqrt{2}}$ ) προκύπτει από τις σχέσεις συντεταγμένων της αμέσως προηγούμενης ανάρτησης,

A=(-3,0)

, $B=(p,\displaystyle\frac{p+3}{2\sqrt{2}})$ , $C=(\displaystyle\frac{-p^2+3p+2}{p+3},\displaystyle\frac{-p^2-6p+7}{2\sqrt{2}(p+3)})$ , $D=(\displaystyle\frac{-3p+7}{p+3},-\displaystyle\frac{8}{\sqrt{2}(p+3)}}),$

και από την απαίτηση AD//BC

, που οδηγεί στην p(p+3)=0

και στην

. (Ένα ακόμη τραπέζιο, 'συμμετρικό' του πρώτου, προκύπτει από την AB//CD

, που δίνει $p=\displaystyle\frac{7}{3}$ , κλπ.)

[Αναφέρω επίσης ότι ο παραπάνω αντιρόμβος υπάρχει για όλα τα

στο $(-\displaystyle\frac{1}{3}, 3)$ , και μόνον γι αυτά: αυτό προκύπτει από την παρατήρηση ότι οι εφαπτόμενες από το A=(-3,0)

εφάπτονται του x^2+y^2=1

στα $(-\displaystyle\frac{1}{3}, \pm \displaystyle\frac{4}{3\sqrt{2}})$ , οφείλουν συνεπώς να ισχύουν οι ανισότητες

$p>-\displaystyle\frac{1}{3}$ ,

$\displaystyle\frac{-p^2+3p+2}{p+3}>-\frac{1}{3}\Leftrightarrow \displaystyle\frac{5-2\sqrt{13}}{3}<p<\frac{5+2\sqrt{13}}{3}$ ,

$\displaystyle\frac{-3p+7}{p+3}>-\frac{1}{3}\Leftrightarrow p<3$ .]

ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ 9-12-13 2:30 μμ: η παραπάνω σχέση ( p=0

) απλά επαληθεύει γνωστή και εύκολα αποδείξιμη ιδιότητα ( $OA\perp OB$ ) που ισχύει σε κάθε περιγράψιμο τραπέζιο -- ευχαριστώ τον Γιώργο Βισβίκη για την σχετική υπόδειξη.

Γιώργος Μπαλόγλου

Ο ρόμβος ως ξεχωριστό περιγράψιμο τετράπλευρο

Re: Ο ρόμβος ως ξεχωριστό περιγράψιμο τετράπλευρο

Re: Ο ρόμβος ως ξεχωριστό περιγράψιμο τετράπλευρο

Re: Ο ρόμβος ως ξεχωριστό περιγράψιμο τετράπλευρο

Re: Ο ρόμβος ως ξεχωριστό περιγράψιμο τετράπλευρο

Μέλη σε σύνδεση