Μέγιστο στο τέταρτο της γωνίας ;

Συντονιστής: gbaloglou

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1106
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Μέγιστο στο τέταρτο της γωνίας ;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Κυρ Οκτ 13, 2019 2:17 am

Καλή Κυριακή! Με αφορμή άλλο θέμα έφτασα στο ανοικτό(*) θέμα που ακολουθεί
Τρίγωνο, κύκλος σε...καλά χέρια!.PNG
Τρίγωνο, κύκλος σε...καλά χέρια!.PNG (7.59 KiB) Προβλήθηκε 367 φορές
Θεωρούμε το τρίγωνο ABC με AB=AC και M το μέσον της BC. Το σημείο E κινείται στην πλευρά AB.

Η CE τέμνει την AM στο H και ο κύκλος των B,E,H τέμνει την BC και στο Z

Να εξεταστεί αν το μήκος του BZ γίνεται μέγιστο όταν είναι \widehat{BCE}=\dfrac{1}{4}\widehat{BAC}

Ευχαριστώ θερμά για το ενδιαφέρον , Γιώργος.

(*) Για την ώρα δεν έχω απόδειξη ...όμως το θέμα είναι σε.."καλά χέρια " του :logo: !



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ratio
Δημοσιεύσεις: 236
Εγγραφή: Παρ Σεπ 09, 2016 8:59 am

Re: Μέγιστο στο τέταρτο της γωνίας ;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ratio » Κυρ Οκτ 13, 2019 9:05 am

Μία πρώτη προσέγγιση:

Αν a μηκος των ίσων πλευρών του ισοσκελούς από νόμο συνημιτόνων στο AMB τρίγωνο προκύπτει
BC=2acos\frac{\widehat{A}}{2} (σχ 1)

Θεωρώντας τη BZ διάμετρο , τα τρίγωνα BEZ και BMA είναι όμοια έχουμε την αναλογία\frac{BE}{BM}=\frac{EZ}{MA}=\frac{BZ}{AB}\Leftrightarrow \frac{BE}{asin\frac{\widehat{A}}{2}}=\frac{EZ}{acos\frac{\widehat{A}}{2}}=\frac{BZ}{a}\Leftrightarrow BZ=\frac{BE}{sin\frac{\widehat{A}}{2}} (σχ 2)

Θέτοντας \widehat{\phi}=\widehat{ECB} με νόμο ημιτόνων στο τρίγωνο ECB προκύπτει
\frac{sin\widehat{\phi}}{BE}=\frac{sin\widehat{E}}{asin\frac{\widehat{A}}{2}}\Leftrightarrow BE=\frac{a sin\widehat{\phi}sin\frac{\widehat{A}}{2}}{sin({\widehat{A}}+\widehat{C}-\widehat{\phi)}} (σχ. 3)

καθώς η \widehat{E}=\widehat{A}+\widehat{C}-\widehat{\phi} ως εξωτερική γωνία του τριγώνου AEC όπου \widehat{C}=90-\frac{\widehat{A}}{2} (σχ. 4)

Από τις (2) , (3), (4) προκύπτει BZ=\frac{asin\widehat{\phi}}{sin(\widehat{A}+\widehat{C}-\widehat{\phi})}
Θεωρώντας την ΒΖ συνάρτηση ως προς \widehat{\phi} , προκύπτει
f(\phi)=a \frac{sin{\phi}}{cos(\phi-\frac{A}{2})}

Η παράγωγος μηδενίζεται όταν cos(2\phi-\frac{A}{2})=0 \Leftrightarrow 2\phi-\frac{A}{2}=\frac{\pi}{2} άρα έχουμε πιθανό ακρότατο για \phi=\frac{\pi+A}{4}


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1106
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Μέγιστο στο τέταρτο της γωνίας ;

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Δευ Οκτ 14, 2019 7:44 pm

Καλησπέρα. Ευχαριστώ τον Ratio για την ενασχόληση με το θέμα. Όμως..
Καθώς το E διατρέχει την πλευρά AB η BZ δεν είναι διάμετρος του κύκλου.
Αυτό θέλουμε να δείξουμε: Ότι το (BZ) γίνεται μέγιστο όταν η BZ γίνει διάμετρος..
Μέγιστο..ΙΙ.PNG
Μέγιστο..ΙΙ.PNG (6.99 KiB) Προβλήθηκε 288 φορές
Αν BZ διάμετρος αυτό σημαίνει \widehat{BCE}=\widehat{A}/4. Πράγματι τότε είναι \widehat{BZE}=\widehat{BAH}=\widehat{A}/2 (οξείες με κάθετες πλευρές)
αλλά και \widehat{BZE}=2x άρα \widehat{BCE}=x=\widehat{A}/4

Ratio έγραψε:
Κυρ Οκτ 13, 2019 9:05 am
Μία πρώτη προσέγγιση..Θεωρώντας τη BZ διάμετρο..

Nα αναμένουμε μια δεύτερη προσέγγιση , με την πρόταση αυτή όχι ως δεδομένη αλλά ως αποδεικτέα ;
Φιλικά, Γιώργος


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8499
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μέγιστο στο τέταρτο της γωνίας ;

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Οκτ 15, 2019 5:46 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Δευ Οκτ 14, 2019 7:44 pm
Αυτό θέλουμε να δείξουμε: Ότι το (BZ) γίνεται μέγιστο όταν η BZ γίνει διάμετρος..

Φιλικά, Γιώργος
Καλησπέρα!

Έστω EB=x. Από Ν. συνημιτόνων στο EBC με \displaystyle \cos B = \frac{a}{{2b}} βρίσκω \boxed{C{E^2} = \frac{{{a^2}b + b{x^2} - {a^2}x}}{b}} (1)
Μέγιστο στο  τέταρτο...png
Μέγιστο στο τέταρτο...png (16.75 KiB) Προβλήθηκε 229 φορές
Από θεώρημα διχοτόμου \displaystyle CH = \frac{{b \cdot CE}}{{2b - x}} και από \displaystyle CH \cdot CE = CZ \cdot CB παίρνω:

\displaystyle \frac{{{b^2}}}{{2b - x}}C{E^2} = a(a - BZ)\mathop  \Rightarrow \limits^{(1)} BZ = \frac{b}{a}\left( {\frac{{{x^2} - {a^2}}}{{x - 2b}}} \right), που παρουσιάζει για \boxed{x = 2b - \sqrt {4{b^2} - {a^2}}}

μέγιστο ίσο με \boxed{B{Z_{\max }} = \frac{{2b}}{a}\left( {2b - \sqrt {4{b^2} - {a^2}} } \right)} Τώρα όμως, \displaystyle \frac{{EB}}{{BZ}} = \frac{a}{{2b}} = \cos B \Rightarrow \boxed{B\widehat EZ=90^\circ}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8499
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μέγιστο στο τέταρτο της γωνίας ;

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Οκτ 21, 2019 9:41 am

Επειδή ο Γιώργος Μ είναι πονηρός... :)
Μέγιστο στο  τέταρτο.Μ..png
Μέγιστο στο τέταρτο.Μ..png (17.88 KiB) Προβλήθηκε 130 φορές
Με τους συμβολισμούς του σχήματος και νόμο ημιτόνων στο BEZ έχω:

\displaystyle \frac{y}{{\sin x}} = \frac{{a - y}}{{\sin B}} \Leftrightarrow y = \frac{{a\sin x}}{{\sin B + \sin x}} και αν θέσω \displaystyle \sin B = k, θα είναι \displaystyle y = \frac{{a\sin x}}{{k + \sin x}}

που όπως είδαμε εδώ παρουσιάζει μέγιστο για \displaystyle x = \frac{\pi }{2}, κλπ...


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης