Μέγιστο στο τέταρτο της γωνίας ;

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλή Κυριακή! Με αφορμή άλλο θέμα έφτασα στο ανοικτό(*) θέμα που ακολουθεί

: Τρίγωνο, κύκλος σε...καλά χέρια!.PNG (7.59 KiB) Προβλήθηκε 1689 φορές

Θεωρούμε το τρίγωνο ABC

με

και

το μέσον της

. Το σημείο

κινείται στην πλευρά

.

Η

τέμνει την

στο

και ο κύκλος των B,E,H

τέμνει την

και στο

Να εξεταστεί αν το μήκος του γίνεται μέγιστο όταν είναι $\widehat{BCE}=\dfrac{1}{4}\widehat{BAC}$

Ευχαριστώ θερμά για το ενδιαφέρον , Γιώργος.

(*) Για την ώρα δεν έχω απόδειξη ...όμως το θέμα είναι σε.."καλά χέρια " του

!

Ratio · #2

Μία πρώτη προσέγγιση:

Αν

μηκος των ίσων πλευρών του ισοσκελούς από νόμο συνημιτόνων στο AMB

τρίγωνο προκύπτει
$BC=2acos\frac{\widehat{A}}{2}$ (σχ 1)

Θεωρώντας τη

διάμετρο , τα τρίγωνα BEZ

και

είναι όμοια έχουμε την αναλογία $\frac{BE}{BM}=\frac{EZ}{MA}=\frac{BZ}{AB}\Leftrightarrow \frac{BE}{asin\frac{\widehat{A}}{2}}=\frac{EZ}{acos\frac{\widehat{A}}{2}}=\frac{BZ}{a}\Leftrightarrow BZ=\frac{BE}{sin\frac{\widehat{A}}{2}}$ (σχ 2)

Θέτοντας $\widehat{\phi}=\widehat{ECB}$ με νόμο ημιτόνων στο τρίγωνο ECB

προκύπτει
$\frac{sin\widehat{\phi}}{BE}=\frac{sin\widehat{E}}{asin\frac{\widehat{A}}{2}}\Leftrightarrow BE=\frac{a sin\widehat{\phi}sin\frac{\widehat{A}}{2}}{sin({\widehat{A}}+\widehat{C}-\widehat{\phi)}}$ (σχ. 3)

καθώς η $\widehat{E}=\widehat{A}+\widehat{C}-\widehat{\phi}$ ως εξωτερική γωνία του τριγώνου AEC

όπου $\widehat{C}=90-\frac{\widehat{A}}{2}$ (σχ. 4)

Από τις (2) , (3), (4) προκύπτει $BZ=\frac{asin\widehat{\phi}}{sin(\widehat{A}+\widehat{C}-\widehat{\phi})}$
Θεωρώντας την

συνάρτηση ως προς $\widehat{\phi}$ , προκύπτει
$f(\phi)=a \frac{sin{\phi}}{cos(\phi-\frac{A}{2})}$

Η παράγωγος μηδενίζεται όταν $cos(2\phi-\frac{A}{2})=0 \Leftrightarrow 2\phi-\frac{A}{2}=\frac{\pi}{2}$ άρα έχουμε πιθανό ακρότατο για $\phi=\frac{\pi+A}{4}$

Γιώργος Μήτσιος · #3

Καλησπέρα. Ευχαριστώ τον Ratio για την ενασχόληση με το θέμα. Όμως..
Καθώς το διατρέχει την πλευρά η δεν είναι διάμετρος του κύκλου.
Αυτό θέλουμε να δείξουμε: Ότι το (BZ)

γίνεται μέγιστο όταν η

γίνει διάμετρος..

: Μέγιστο..ΙΙ.PNG (6.99 KiB) Προβλήθηκε 1610 φορές

Αν

διάμετρος αυτό σημαίνει $\widehat{BCE}=\widehat{A}/4$ . Πράγματι τότε είναι $\widehat{BZE}=\widehat{BAH}=\widehat{A}/2$ (οξείες με κάθετες πλευρές)
αλλά και $\widehat{BZE}=2x$ άρα $\widehat{BCE}=x=\widehat{A}/4$

Ratio έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 13, 2019 9:05 am
Μία πρώτη προσέγγιση..Θεωρώντας τη διάμετρο..

Nα αναμένουμε μια δεύτερη προσέγγιση , με την πρόταση αυτή όχι ως δεδομένη αλλά ως αποδεικτέα ;
Φιλικά, Γιώργος

#4

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 14, 2019 7:44 pm
Αυτό θέλουμε να δείξουμε: Ότι το γίνεται μέγιστο όταν η γίνει διάμετρος..

Φιλικά, Γιώργος

Καλησπέρα!

Έστω EB=x.

Από Ν. συνημιτόνων στο EBC

με $\displaystyle \cos B = \frac{a}{{2b}}$ βρίσκω $\boxed{C{E^2} = \frac{{{a^2}b + b{x^2} - {a^2}x}}{b}}$ (1)

: Μέγιστο στο τέταρτο...png (16.75 KiB) Προβλήθηκε 1551 φορές

Από θεώρημα διχοτόμου $\displaystyle CH = \frac{{b \cdot CE}}{{2b - x}}$ και από $\displaystyle CH \cdot CE = CZ \cdot CB$ παίρνω:

$\displaystyle \frac{{{b^2}}}{{2b - x}}C{E^2} = a(a - BZ)\mathop \Rightarrow \limits^{(1)} BZ = \frac{b}{a}\left( {\frac{{{x^2} - {a^2}}}{{x - 2b}}} \right),$ που παρουσιάζει για $\boxed{x = 2b - \sqrt {4{b^2} - {a^2}}}$

μέγιστο ίσο με $\boxed{B{Z_{\max }} = \frac{{2b}}{a}\left( {2b - \sqrt {4{b^2} - {a^2}} } \right)}$ Τώρα όμως, $\displaystyle \frac{{EB}}{{BZ}} = \frac{a}{{2b}} = \cos B \Rightarrow$ $\boxed{B\widehat EZ=90^\circ}$

#5

Επειδή ο Γιώργος Μ είναι πονηρός...

: Μέγιστο στο τέταρτο.Μ..png (17.88 KiB) Προβλήθηκε 1452 φορές

Με τους συμβολισμούς του σχήματος και νόμο ημιτόνων στο BEZ

έχω:

$\displaystyle \frac{y}{{\sin x}} = \frac{{a - y}}{{\sin B}} \Leftrightarrow y = \frac{{a\sin x}}{{\sin B + \sin x}}$ και αν θέσω $\displaystyle \sin B = k,$ θα είναι $\displaystyle y = \frac{{a\sin x}}{{k + \sin x}}$

που όπως είδαμε εδώ παρουσιάζει μέγιστο για $\displaystyle x = \frac{\pi }{2},$ κλπ...

Μέγιστο στο τέταρτο της γωνίας ;

Μέγιστο στο τέταρτο της γωνίας ;

Re: Μέγιστο στο τέταρτο της γωνίας ;

Re: Μέγιστο στο τέταρτο της γωνίας ;

Re: Μέγιστο στο τέταρτο της γωνίας ;

Re: Μέγιστο στο τέταρτο της γωνίας ;

Μέλη σε σύνδεση