Και πάλι Στερεομετρία(τρίτη και ... τελευταία)

#1

Οι δυο ασύμβατες ευθείες $\displaystyle{(e_1)}$ και $\displaystyle{(e_2)}$ τέμνουν ένα δοσμένο επίπεδο $\displaystyle{(P)}$
αντίστοιχα στα σημεία $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ .
Να κατασκευαστεί ευθεία $\displaystyle{(d)}$ παράλληλη προς το επίπεδο $\displaystyle{(P)}$ και να τέμνει τις
ασύμβατες $\displaystyle{(e_1), (e_2)}$ αντίστοιχα στα σημεία $\displaystyle{M,N}$ έτσι ώστε να είναι:
$\displaystyle{(MN)=l}$ , όπου $\displaystyle{l}$ ένα δοσμένο ευθύγραμμο τμήμα.

S.E.Louridas · #2

KDORTSI έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 09, 2020 9:04 pm
Οι δυο ασύμβατες ευθείες $\displaystyle{(e_1)}$ και $\displaystyle{(e_2)}$ τέμνουν ένα δοσμένο επίπεδο $\displaystyle{(P)}$
αντίστοιχα στα σημεία $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ .
Να κατασκευαστεί ευθεία $\displaystyle{(d)}$ παράλληλη προς το επίπεδο $\displaystyle{(P)}$ και να τέμνει τις
ασύμβατες $\displaystyle{(e_1), (e_2)}$ αντίστοιχα στα σημεία $\displaystyle{M,N}$ έτσι ώστε να είναι:
$\displaystyle{(MN)=l}$ , όπου $\displaystyle{l}$ ένα δοσμένο ευθύγραμμο τμήμα.

Καλημέρα Κώστα από το βροχερό κλεινόν άστυ.

Θα πάμε στην κατασκευή παραβλέποντας για λίγο το επίπεδο $\left( P \right).$ Υπάρχει επίπεδο (Q),

που περιέχει την $\left( {{e_2}} \right)$ και είναι παράλληλο στην $\left( {{e_1}} \right).$ Θεωρούμε εδώ την κοινή κάθετη

των $\left( {{e_1}),({e_2}} \right)$ με $K \in \left( {{e_1}} \right)$ και $L \in \left( {{e_2}} \right).$ Έστω ότι έχουμε KL=d.

Επί του επιπέδου $\left( Q \right)$ θεωρούμε κύκλο $c: \left( {L,LF} \right),\;\,LF = \sqrt {{l^2} - {d^2}} .$ Προσδιορίζουμε την τομή

(που είναι ευθεία) του επιπέδου (Q)

με το παράλληλο επίπεδο στο (P)

από το σημείο

Έστω ότι είναι {F}

μία τομή των h,c,

τότε καλούμε

την τομή της $\left( {{e_2}} \right)$ με την παράλληλη από το

στην $\left( {{e_1}} \right).$
Η παράλληλη από το

στην

τέμνει την $\left( {{e_1}} \right)$ στο σημείο {M}

και έτσι παίρνουμε το ζητούμενο MN=l.

Ακολουθεί μία "χειροκίνητη" σχηματική απεικόνιση, και σίγουρα εν αναμονή της ακριβούς απεικόνισης από τον Κώστα.

: cat.png (76.75 KiB) Προβλήθηκε 805 φορές

#3

KDORTSI έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 09, 2020 9:04 pm
Οι δυο ασύμβατες ευθείες $\displaystyle{(e_1)}$ και $\displaystyle{(e_2)}$ τέμνουν ένα δοσμένο επίπεδο $\displaystyle{(P)}$
αντίστοιχα στα σημεία $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ .
Να κατασκευαστεί ευθεία $\displaystyle{(d)}$ παράλληλη προς το επίπεδο $\displaystyle{(P)}$ και να τέμνει τις
ασύμβατες $\displaystyle{(e_1), (e_2)}$ αντίστοιχα στα σημεία $\displaystyle{M,N}$ έτσι ώστε να είναι:
$\displaystyle{(MN)=l}$ , όπου $\displaystyle{l}$ ένα δοσμένο ευθύγραμμο τμήμα.

Καλό μεσημέρι!

: Στερεομετρία.3.png (20.62 KiB) Προβλήθηκε 792 φορές

Κατασκευάζω το επίπεδο (Q)

που περιέχει την (e_2)

και είναι παράλληλο στην (e_1).

Γράφω τον κύκλο (A, l)

του επιπέδου

(P)

που ορίζει με την τομή των επιπέδων (P), (Q)

το σημείο

Η παράλληλη από το

στην

τέμνει την συνεπίπεδή

της (e_2)

στο

και η παράλληλη από το

στην

την

στο

Η

είναι η ζητούμενη ευθεία.

Το πλήθος των λύσεων του προβλήματος είναι όσα και τα κοινά σημεία της τομής των επιπέδων (P), (Q)

με τον κύκλο.

#4

S.E.Louridas έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 10, 2020 10:16 am

KDORTSI έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 09, 2020 9:04 pm
Οι δυο ασύμβατες ευθείες $\displaystyle{(e_1)}$ και $\displaystyle{(e_2)}$ τέμνουν ένα δοσμένο επίπεδο $\displaystyle{(P)}$
αντίστοιχα στα σημεία $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ .
Να κατασκευαστεί ευθεία $\displaystyle{(d)}$ παράλληλη προς το επίπεδο $\displaystyle{(P)}$ και να τέμνει τις
ασύμβατες $\displaystyle{(e_1), (e_2)}$ αντίστοιχα στα σημεία $\displaystyle{M,N}$ έτσι ώστε να είναι:
$\displaystyle{(MN)=l}$ , όπου $\displaystyle{l}$ ένα δοσμένο ευθύγραμμο τμήμα.
Καλημέρα Κώστα από το βροχερό κλεινόν άστυ.

Θα πάμε στην κατασκευή παραβλέποντας για λίγο το επίπεδο $\left( P \right).$ Υπάρχει επίπεδο που περιέχει την $\left( {{e_2}} \right)$ και είναι παράλληλο στην $\left( {{e_1}} \right).$ Θεωρούμε εδώ την κοινή κάθετη των $\left( {{e_1}),({e_2}} \right)$ με $K \in \left( {{e_1}} \right)$ και $L \in \left( {{e_2}} \right).$ Έστω ότι έχουμε
Επί του επιπέδου $\left( Q \right)$ θεωρούμε κύκλο $c: \left( {L,LF} \right),\;\,LF = \sqrt {{l^2} - {d^2}} .$ Προσδιορίζουμε την τομή (που είναι ευθεία) του επιπέδου με το παράλληλο επίπεδο στο από το σημείο Έστω ότι είναι μία τομή των τότε καλούμε την τομή της $\left( {{e_2}} \right)$ με την παράλληλη από το στην $\left( {{e_1}} \right).$
Η παράλληλη από το στην τέμνει την $\left( {{e_1}} \right)$ στο σημείο και έτσι παίρνουμε το ζητούμενο

Ακολουθεί μία "χειροκίνητη" σχηματική απεικόνιση, και σίγουρα εν αναμονή της ακριβούς απεικόνισης από τον Κώστα.

Σωτήρη καλημέρα.

Αναρτώ ένα σχήμα φτιαγμένο με το Geogebra3D όπου υλοποίησα
την όμορφη και σωστή κατασκευή που ανάρτησες στο ανωτέρω πρόβλημα.

: Στερεομετρία 4δ.1.png (34.65 KiB) Προβλήθηκε 738 φορές

Δεν ξέρω κατά πόσο βοηθάει το σχήμα αυτό στην κατανόηση της λύσης που έδωσες Σωτήρη,

όμως έγινε, όπως ανάφερα και στην εισαγωγική μου πρόταση, με ακριβή στοιχεία.

Θα μπορούσε να γίνει πιο παραστατική αν έβαζα και το δυναμικό αρχείο ή το πρωτόκολλο κατασκευής της.

Κώστας Δόρτσιος

Και πάλι Στερεομετρία(τρίτη και ... τελευταία)

Και πάλι Στερεομετρία(τρίτη και ... τελευταία)

Re: Και πάλι Στερεομετρία(τρίτη και ... τελευταία)

Re: Και πάλι Στερεομετρία(τρίτη και ... τελευταία)

Re: Και πάλι Στερεομετρία(τρίτη και ... τελευταία)

Μέλη σε σύνδεση