Δύσκολο ορθογώνιο

KARKAR · #1

: Δύσκολο ορθογώνιο.png (18.64 KiB) Προβλήθηκε 1812 φορές

Το

είναι το μέσο ημικυκλίου διαμέτρου AOB

. Μπορούμε να εντοπίσουμε σημείο

στην κάθετη της

στο άκρο

ή ( και) σημείο

του τόξου τέτοια ώστε : $\widehat{SOT}=90^0$ και τα S , M , T

να είναι συνευθειακά ;

#2

Θέτουμε $O=(0,0), A=(-1,0), M=(0,1), T=(cos\theta,sin\theta),$ οπότε η εξίσωση της

είναι $y-sin\theta=-\dfrac{1-sin\theta}{cos\theta}(x-cos\theta)$ και δίνει $S=\left(-1,\dfrac{1-sin\theta+cos\theta}{cos\theta}\right).$ Από τους συντελεστές διεύθυνσης των καθέτων τμημάτων

και

προκύπτει εύκολα τώρα η τριγωνομετρική εξίσωση $sin\theta +\sin\theta cos\theta=1,$ αναγόμενη στην τεταρτοβάθμια

$sin^4\theta-2sin\theta+1=0,$

από την οποία προκύπτει $sin\theta\approx0,5437$ και $\theta\approx 32,94^0.$

[Δουλειά για το σπίτι (homework): να ελεγχθεί ο τύπος για το

(τι συμβαίνει όταν $\theta=0^0$ ή $\theta=90^0$ ) και να δειχθεί ότι η λύση για το

και την $\theta$ είναι μοναδική (γιατί η τεταρτοβάθμια δεν έχει πάνω από δύο πραγματικές ρίζες και γιατί δεν είναι αποδεκτή η δεύτερη) ... και να προσεγγισθεί χωρίς λογισμικό (αν γνωρίζουμε τον αλγόριθμο του Νεύτωνα)

]

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 05, 2023 2:50 pm
Δύσκολο ορθογώνιο.pngΤο είναι το μέσο ημικυκλίου διαμέτρου . Μπορούμε να εντοπίσουμε σημείο στην κάθετη της

στο άκρο ή ( και) σημείο του τόξου τέτοια ώστε : $\widehat{SOT}=90^0$ και τα να είναι συνευθειακά ;

Παρόμοιο.

Θέτω r=1

και $S(-1,s), T(t, \sqrt{1-t^2}).$ Οι υπόλοιπες συντεταγμένες φαίνονται στο σχήμα.

: Δύσκολο ορθογώνιο.png (13.26 KiB) Προβλήθηκε 1752 φορές

Από τη συνθήκη $\displaystyle \overrightarrow {OS} \overrightarrow {OT} = 0$ παίρνω $\displaystyle s\sqrt {1 - {t^2}} - t = 0$ και από την συνευθειακότητα των S , M , T,

προκύπτει

$\displaystyle \sqrt {1 - {t^2}} = t - st + 1.$ Με απαλοιφή τώρα του

καταλήγω στην εξίσωση $\displaystyle t\sqrt {1 - {t^2}} + \sqrt {1 - {t^2}} - 1 = 0,$

όπου με λογισμικό παίρνω τη δεκτή ρίζα $\boxed{t = \frac{1}{3}\left( {\sqrt[3]{{19 + 3\sqrt {33} }} + \sqrt[3]{{19 - 3\sqrt {33} }} - 2} \right)}$ Στη συνέχεια εύκολα

προσδιορίζεται και το

KARKAR · #4

: Δύσκολο ορθογώνιο.png (20.78 KiB) Προβλήθηκε 1726 φορές

Με σκέψεις ανάλογες των προλυσάντων αλλά με άγνωστο το

, έχουμε : Η τομή της ευθείας

( που είναι η :

y=(1-s)x+1

) και του ημικυκλίου , ( που είναι το : x^2+y^2=1

) μας δίνει τις συντεταγμένες του

.

Η καθετότητα των OS , OT

, μας οδηγεί στην ( κάπως πιο ανθρώπινη ) εξίσωση : s^3-2s^2+2s-2=0

,

της οποίας γράφω ( απευθείας ) την προσεγγιστική λύση : s=1.543689...

Παρατηρήστε ότι για τη γωνία $\theta$ της λύσης Μπαλόγλου , ισχύει : $\tan\theta=\dfrac{1}{1+\sin\theta}$

#5

Ας τα βάλουμε όλα μαζί -- ύστερα από μικρή επεξεργασία των λύσεων/εξισώσεων, προκύπτουν τρεις τριτοβάθμιες:

$sin^3\theta +sin^2\theta -1 =0,$ (Μπαλόγλου)

$cos^3\theta +2cos^2\theta -2=0,$ (Βισβίκης)

s^3-2s^2+2s-2=0,

(Καρκάρ)

όπου S=(-1,s)

και $T=(cos\theta, sin\theta).$

Ανδρέας Πούλος · #6

Δεν ξέρω αν έχει ενδιαφέρον για το πρόβλημα που έθεσε ο KARKAR,
το γεγονός ότι αν ονομάσουμε

το σημείο τομής των ευθειών

και

,
τότε το τρίγωνο SOK

είναι ισοσκελές και χωρίζεται από τις

και

σε δύο επίσης ίσα τρίγωνα.

KARKAR · #7

: Δύσκολο ορθογώνιο.png (26.49 KiB) Προβλήθηκε 1641 φορές

Βάζω το σχήμα που ενσωματώνει τις παρατηρήσεις του Ανδρέα ....

#8

Αν αυτό το πρόβλημα δίνονταν ως γεωμετρική κατασκευή σε παραδοσιακούς γεωμέτρες, οι περισσότεροι θα πίστευαν ότι μπορουν να το λύσουν και θα παιδεύονταν άδικα (λόγω της τριτοβαθμίου): πράγματι δύσκολο το ορθογώνιο του Θανάση!

[Έλεγξα ότι ισχύουν πράγματι οι SM=KT, SO=KO

και ότι τα S, M, T, K

είναι όντως συνευθειακά: εννοώ δηλαδή ότι οι ισότητες αυτές (που ο Ανδρέας εξάγει γεωμετρικά από την ορθογωνιότητα) προκύπτουν όντως από τις συντεταγμένες του Θανάση^ αντίστροφα, προκύπτει άμεσα από αυτές η ορθογωνιότητα -- ό,τι και να κάνουμε, πρώτα πρέπει να αποδείξουμε κάτι 'δύσκολο' αλγεβρικά και ακολούθως να έχουμε ένα εύκολο γεωμετρικό πόρισμα. (Προσθέτω ότι $K=\left(\dfrac{1}{s-1},0\right)$ .)]

Δύσκολο ορθογώνιο

Δύσκολο ορθογώνιο

Re: Δύσκολο ορθογώνιο

Re: Δύσκολο ορθογώνιο

Re: Δύσκολο ορθογώνιο

Re: Δύσκολο ορθογώνιο

Re: Δύσκολο ορθογώνιο

Re: Δύσκολο ορθογώνιο

Re: Δύσκολο ορθογώνιο

Μέλη σε σύνδεση