Αναπάντεχη μεγιστοποίηση

KARKAR · #1

: Αναπάντεχη μεγιστοποίηση.png (17.83 KiB) Προβλήθηκε 727 φορές

Τα σημεία C' , D'

είναι οι προβολές των άκρων της χορδής

στην διάμετρο

του ημικυκλίου .

Σημείο

κινείται στην

. Βρείτε την θέση του

για την οποία μεγιστοποιείται η γωνία $\widehat{ASB}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 28, 2025 8:49 am
Τα σημεία είναι οι προβολές των άκρων της χορδής στην διάμετρο του ημικυκλίου .

Σημείο κινείται στην . Βρείτε την θέση του για την οποία μεγιστοποιείται η γωνία $\widehat{ASB}$ .

Πρόκειται για πρόβλημα που έχουμε δει παραλλαγή του πάρα πολλές φορές στο

. Πρόκειται για παραλλαγή του Προβλήματος Regiomontanus. Θα δώσω παραπομπή, μόλις την βρω.

Επί της ουσίας. Φέρνουμε τον κύκλο που διέρχεται από τα A,B

και εφάπτεται της

, έστω στο

. To

είναι το ζητούμενο. Πράγματι, για οποιοδήποτε άλλο σημείο

της

, γρ'άφοντας τον κύκλο AJB

έχουμε

$\widehat{AJB}=\widehat{AIB} <\widehat{ASB}$ (εξωτερική γωνία του τριγώνου AIS

).

#3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 28, 2025 9:33 am
Πρόκειται για παραλλαγή του Προβλήματος Regiomontanus. Θα δώσω παραπομπή, μόλις την βρω.

Βλέπε ποστ #

και #

εδώ όπου υπάρχουν και ιστορικά σχόλια. Βλέπε επίσης ποστ #

εδώ, ποστ #

εδώ (όπου το αποκαλεί "ένα πιο επανεμφανιζόμενα θέματα στο mathematica"), και σε πολλά άλλα μέρη.

KARKAR · #4

: Αναπάντεχη μεγιστοποίηση.png (18.65 KiB) Προβλήθηκε 687 φορές

Άψογα ! Ας υπολογίσουμε και την απόσταση του σημείου

( της μεγιστοποίησης ) από την

.

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 28, 2025 11:22 am
Αναπάντεχη μεγιστοποίηση.pngΆψογα ! Ας υπολογίσουμε και την απόσταση του σημείου ( της μεγιστοποίησης ) από την .

Απάντηση: $2\sqrt 3$ αλλά μπορούμε και λίγο καλύτερα (στην πραγματικότητα ισοδύναμα), να βρούμε τις συντεταγμένες του

ως προς σύστημα αξόνων.

Το κάνω με Αναλυτική γιατί έχει ένα ενδιαφέρον στοιχείο, αλλά γίνεται και καθαρά γεωμετρικά.

Με αρχή των αξόνων το μέσον της

είναι

και επειδή $CC'=\sqrt {1\cdot 9}=3$ και όμοια DD'=4

, έχουμε

.

Ο κόκκινος (εφαπτόμενος) κύκλος έχει κέντρο F(0,k)

και ακτίνα $FB= \sqrt {k^2+5^2}$ , άρα έχει εξίσωση x^2+(y-k)^2=k^2+5^2

, δηλαδή

$\boxed {x^2+y^2 -2ky -25 =0 }$

Η ευθεία

έχει εξίσωση $\boxed {7y=x+25}$

To

είναι η τομή των δύο. Ακριβέστερα, λόγω επαφής (εδώ είναι το κλειδί), έχουμε διπλή ρίζα. Συγκεκριμένα, αντικαθιστώντας την x=7y-25

στην εξίσωση του κύκλου θα βρούμε

25y^2-(k+175)y+300=0

Η διπλή ρίζα ( $\Delta =0$ ) δίνει $(k+175)^2-4\times 25\times 300=0$ , άρα $k=100\sqrt 3 - 175$ . Γι' αυτήν την τιμή του

, η ρίζα βγαίνει $\boxed {y= 2\sqrt 3}$ . To αντίστοιχο $x=14\sqrt 3 -25$ , δηλαδή $S(14\sqrt 3 -25,\, 2\sqrt 3 )$ .
.

Αναπάντεχη μεγιστοποίηση

Αναπάντεχη μεγιστοποίηση

Re: Αναπάντεχη μεγιστοποίηση

Re: Αναπάντεχη μεγιστοποίηση

Re: Αναπάντεχη μεγιστοποίηση

Re: Αναπάντεχη μεγιστοποίηση

Μέλη σε σύνδεση