Ανάπτυγμα τομής κυλίνδρου από επίπεδο

panos1962 · #1

Έστω κύλινδρος Κ και επίπεδο Ε το οποίο τέμνει τον κύλινδρο και δεν είναι παράλληλο με τον άξονα του κυλίνδρου. Είναι γνωστό ότι η τομή του κυλίνδρου Κ από το επίπεδο Ε είναι μια έλλειψη. Στην ειδική περίπτωση που το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κυλίνδρου η τομή είναι κύκλος, ενώ όσο μεγαλύτερη είναι η γωνία που σχηματίζει το επίπεδο με τον άξονα του κυλίνδρου, τόσο πιο «μακρόστενη» είναι η έλλειψη που σχηματίζεται. Κατόπιν «κόβουμε» τον κύλινδρο κατά μήκος μιας γενέτειρας και τον «ξετυλίγουμε» αναπτύσσοντάς τον σε ένα επίπεδο. Το ερώτημα είναι: Σε τι είδους καμπύλη μετασχηματίζεται η έλλειψη πάνω σε αυτό το επίπεδο;

Το πρόβλημα δεν το έχω λύσει, ώστόσο υπάρχουν σοβαρές ενδείξεις ότι η καμπύλη που σχηματίζεται είναι ημιτονοειδής (μιας περιόδου), δηλαδή είναι της μορφής:

f(x) = (κ * sin(λ * x)) + μ

#2

panos1962 έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 19, 2025 8:02 pm
Έστω κύλινδρος Κ και επίπεδο Ε το οποίο τέμνει τον κύλινδρο και δεν είναι παράλληλο με τον άξονα του κυλίδρου. Είναι γνωστό ότι η τομή του κυλίνδρου Κ από το επίπεδο Ε είναι μια έλλειψη. Στην ειδική περίπτωση που το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κυλίνδρου η τομή είναι κύκλος, ενώ όσο μεγαλύτερη είναι η γωνία που σχηματίζει το επίπεδο με τον άξονα του κυλίνδρου, τόσο πιο «μακρόστενη» είναι η έλλειψη που σχηματίζεται. Κατόπιν «κόβουμε» τον κύλινδρο κατά μήκος μιας γενέτειρας και τον «ξετυλίγουμε» αναπτύσσοντάς τον σε ένα επίπεδο. Το ερώτημα είναι: Σε τι είδους καμπύλη μετασχηματίζεται η έλλειψη πάνω σε αυτό το επίπεδο;

Το πρόβλημα δεν το έχω λύσει, ώστόσο υπάρχουν σοβαρές ενδείξεις ότι η καμπύλη που σχηματίζεται είναι ημιτονοειδής (μιας περιόδου), δηλαδή είναι της μορφής:

f(x) = (κ * sin(λ * x)) + μ

Πάνο, ναι η καμπύλη είναι ημιτονοειδής.

Μία ωραία εποπτική εικόνα (και μάλιστα γενίκευση αυτού που ζητάς) υπάρχει στο εξαιρετικό βιβλίο Mathematical Snapshots του κορυφαίου Steinhaus (γνωστός από θεωρήματα της πρώτης γραμμής στην Συναρτησιακή Ανάλυση, στην Θεωρία Μέτρου και την Τοπολογία, όπως π.χ. το Θεώρημα Banach-Steinhaus, βλέπε εδώ).

Επισυνάπτω δύο σχετικές σελίδες από το Mathematical Snapshots του Steinahaus. Πρωτοκυκλοφόρησε στα Πολωνικά το 1939 αλλά μεταφράστηκε σε πάρα πολλές γλώσσες. Η Αγγλική έκδοση είναι του 1950, με άπειρες επανεκδόσεις.

Το Mathematical Snapshots όπως και το One Hundred Problems In Elementary Mathematics (1964) (*) του ιδίου είναι από τα κορυφαία βιβλία Διασκεδαστικών Μαθηματικών (Recreational Mathematics) που πρέπει να τα διαβάσουν όλοι οι Μαθηματικοί. Σίγουρα στην βιβλιοθήκη μου τα δύο αυτά βιβλία του Steinhaus, όπως και τα καθαρά Μαθηματικά του βιβλία, βρίσκονται στις "θέσεις των επισήμων".

(*) Μην το μπλέκουμε με το σχεδόν ομότιτλο βιβλίο του Dorrie, 100 Great Problems of Elementary Mathematics (1932). Επίσης κορυφαίο αλλά για την Ιστορία των Μαθηματικών.

#3

panos1962 έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 19, 2025 8:02 pm
Έστω κύλινδρος Κ και επίπεδο Ε το οποίο τέμνει τον κύλινδρο και δεν είναι παράλληλο με τον άξονα του κυλίνδρου. Είναι γνωστό ότι η τομή του κυλίνδρου Κ από το επίπεδο Ε είναι μια έλλειψη. Στην ειδική περίπτωση που το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κυλίνδρου η τομή είναι κύκλος, ενώ όσο μεγαλύτερη είναι η γωνία που σχηματίζει το επίπεδο με τον άξονα του κυλίνδρου, τόσο πιο «μακρόστενη» είναι η έλλειψη που σχηματίζεται. Κατόπιν «κόβουμε» τον κύλινδρο κατά μήκος μιας γενέτειρας και τον «ξετυλίγουμε» αναπτύσσοντάς τον σε ένα επίπεδο. Το ερώτημα είναι: Σε τι είδους καμπύλη μετασχηματίζεται η έλλειψη πάνω σε αυτό το επίπεδο;

Το πρόβλημα δεν το έχω λύσει, ώστόσο υπάρχουν σοβαρές ενδείξεις ότι η καμπύλη που σχηματίζεται είναι ημιτονοειδής (μιας περιόδου), δηλαδή είναι της μορφής:

f(x) = (κ * sin(λ * x)) + μ

Καλησπέρα από Γρεβενά...

Αναρτώ αρχικά τρία σχήματα που δείχνουν την τομή και το "εν λόγω" ανάπτυγμα:

1ο σχήμα:

Η τομή του επιπέδου με τον κύλινδρο

: Τομή κυλίνδρου και επιπέδου 1.png (29.67 KiB) Προβλήθηκε 1693 φορές

2ο Σχήμα:

Τα δύο μέρη στα οποία διαιρείται ο κύλινδρος από την έλλειψη

: Τομή κυλίνδρου και επιπέδου 2.png (26.42 KiB) Προβλήθηκε 1693 φορές

3ο Σχήμα:

Το επίπεδο ανάπτυγμα του ενός από τα δύο μέρη

: Τομή κυλίνδρου και επιπέδου 3.png (63.46 KiB) Προβλήθηκε 1693 φορές

(Συνεχίζεται...)

Αναρτώ κι ένα δυναμικό σχήμα στη διεύθυνση:

https://www.geogebra.org/m/xuwqkgun

Σημείωση: Όλες οι ανωτέρω επιφάνειες και καμπύλες σχεδιάστηκαν σύμφωνα με

τις αντίστοιχες εξισώσεις των.

Κώστας Δόρτσιος

panos1962 · #4

Κώστα, σ' ευχαριστώ θερμά για τα σχήματα. Γνώριζα ότι το GeoGebra έχει τέτοιες φοβερές δυνατότητες, αλλά δεν γνώριζα ότι υπάρχουν άνθρωποι στο ορατό σύμπαν που γνωρίζουν σε βάθος αυτές τις δυνατότητες.

*Και μια ερώτηση σχετική με το animation: Υπάρχει τεχνικός λόγος που έχουμε διαφορετικά κουμπιά για την εκκίνηση και την παύση του animation, ή είναι απλώς θέμα προσωπικής επιλογής του σχεδιαστή; Ρωτώ γιατί για κάποιους ίσως θα τους βόλευε να κάνουν κλικ στο ίδιο κουμπί για ξεκίνημα/σταμάτημα του animation, έχοντας εστιασμένη την προσοχή τους στο σχήμα. Και πάλι ευχαριστώ!

#5

panos1962 έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 21, 2025 9:10 am
Κώστα, σ' ευχαριστώ θερμά για τα σχήματα. Γνώριζα ότι το GeoGebra έχει τέτοιες φοβερές δυνατότητες, αλλά δεν γνώριζα ότι υπάρχουν άνθρωποι στο ορατό σύμπαν που γνωρίζουν σε βάθος αυτές τις δυνατότητες.

*Και μια ερώτηση σχετική με το animation: Υπάρχει τεχνικός λόγος που έχουμε διαφορετικά κουμπιά για την εκκίνηση και την παύση του animation, ή είναι απλώς θέμα προσωπικής επιλογής του σχεδιαστή; Ρωτώ γιατί για κάποιους ίσως θα τους βόλευε να κάνουν κλικ στο ίδιο κουμπί για ξεκίνημα/σταμάτημα του animation, έχοντας εστιασμένη την προσοχή τους στο σχήμα. Και πάλι ευχαριστώ!

Πάνο ευχαριστώ και εγώ για τα ανωτέρω λόγια!
Σε ότι αφορά τη χρήση των κουμπιών είναι καθαρά θέμα δικής μου
επιλογής γιατί έτσι νομίζω δίνεται η ευκαιρία για μια πιο προσεκτική
μελέτη και αξιοποίηση από τον επισκέπτη. Και στο θέμα αυτό υπάρχουν
κι άλλες επιλογές.

Συνεχίζοντας τώρα το θέμα, πριν γράψω εξισώσεις και άλλες παρατηρήσεις,

αναρτώ ένα ακόμα σχήμα που δείχνει την ανάπτυξη της κυρτής επιφάνειας

κάτωθεν της ελλείψεως.

: Τομή κυλίνδρου και επιπέδου 4.png (40.62 KiB) Προβλήθηκε 1624 φορές

Αναρτώ και το δυναμικό του σχήμα:

https://www.geogebra.org/m/vam3puw7

(Συνεχίζεται...)

Κώστας Δόρτσιος

#6

panos1962 έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 19, 2025 8:02 pm
Έστω κύλινδρος Κ και επίπεδο Ε το οποίο τέμνει τον κύλινδρο και δεν είναι παράλληλο με τον άξονα του κυλίνδρου. Είναι γνωστό ότι η τομή του κυλίνδρου Κ από το επίπεδο Ε είναι μια έλλειψη. Στην ειδική περίπτωση που το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κυλίνδρου η τομή είναι κύκλος, ενώ όσο μεγαλύτερη είναι η γωνία που σχηματίζει το επίπεδο με τον άξονα του κυλίνδρου, τόσο πιο «μακρόστενη» είναι η έλλειψη που σχηματίζεται. Κατόπιν «κόβουμε» τον κύλινδρο κατά μήκος μιας γενέτειρας και τον «ξετυλίγουμε» αναπτύσσοντάς τον σε ένα επίπεδο. Το ερώτημα είναι: Σε τι είδους καμπύλη μετασχηματίζεται η έλλειψη πάνω σε αυτό το επίπεδο;

Το πρόβλημα δεν το έχω λύσει, ώστόσο υπάρχουν σοβαρές ενδείξεις ότι η καμπύλη που σχηματίζεται είναι ημιτονοειδής (μιας περιόδου), δηλαδή είναι της μορφής:

f(x) = (κ * sin(λ * x)) + μ

Καλησπέρα...

Θα βρούμε τη μορφή της τομής του επιπέδου με τον κύλινδρο.

Έστω ο κύλινδρος με εξίσωση:

$\displaystyle{ (c):\left\{\begin{matrix} x(t)=rcos(t)\\ y(t)=rsin(t) \\z(t)=a \end{matrix}\right, 0\leq t \leq 2\pi \ \ (1) }$

Από την παραμετρική εξίσωση (1) φαίνεται ότι η $\displaystyle{r}$ είναι η ακτίνα της βάσης του κυλίνδρου

και $\displaystyle{h=a}$ είναι το ύψος του. Θα θεωρήσουμε χωρίς να βλάπτεται η γενικότητα ότι $\displaystyle{r=1}$

Στη συνέχεια θα θεωρήσουμε το επίπεδο με εξίσωση:

$\displaystyle{(p):\left\{\begin{matrix} x(u,t)=-3u+2(1-u)\\y(u,t)=ut+(1-u)t \\z(u,t)=(1-u)b \end{matrix}\right,\ \ 0\leq u \leq 1, \ \ 0 \leq t \leq 2\pi, \ \ b \leq a \ \ (2) }$

Το επίπεδο αυτό ορίζεται από δυο παράλληλα ευθύγραμμα τμήματα:

$\displaystyle{(d_1): \left\{\begin{matrix} x(t)=-3 \\y(t)=t \\z(t)=0 \end{matrix}\right., \ \ -4 \leq t \leq 4 \ \ (3) }$

και

$\displaystyle{(d_2):\left\{\begin{matrix} x(t)=2 \\y(t)=t \\z(t)=\frac{5b}{4} \end{matrix}\right.,\ \ -4 \leq t \leq 4 \ \ (4) }$

Από τα τμήματα αυτό το πρώτο διέρχεται από το σημείο $\displaystyle{P=(-3,0,0) }$ και είναι παράλληλο με

τον άξονα των $\displaystyle{y'y}$ . (Δεν σχεδιάστηκε το σύστημα αξόνων $\displaystyle{Oxyz}$ για χάρη της ευκρίνειας)

Αυτά φαίνονται στο ακόλουθο σχήμα:

: Τομή κυλίνδρου και επιπέδου 5.png (35.17 KiB) Προβλήθηκε 1513 φορές

Από το σχήμα αυτό παρατηρούμε ότι τα ορθογώνια τρίγωνα

$\displaystyle{(APQ), \ \ (SHZ) }$

είναι όμοια. Άρα:

$\displaystyle{\frac{AQ}{PA}=\frac{SZ}{SH} }$

δηλαδή:

$\displaystyle{\frac{b}{4}=\frac{SZ}{3+cos(t)) }$

και τελικά:

$\displaystyle{SZ=\frac{b}{4}(3+cos(t)), \ \ 0 \leq t \leq 2\pi \ \ (5) }$

Από την (5) συμπεραίνουμε ότι η τομή του επιπέδου $\displaystyle{(p)}$ με την κυρτή κυλινδρική επιφάνεια $\displaystyle{(c)}$

έχει παραμετρική εξίσωση:

$\displaystyle{ (c_1):\left\{\begin{matrix} x(t)=cos(t)\\y(t)=sin(t) \\z(t)=\frac{b}{4}(3+cos(t)) \end{matrix}\right., \ \ 0 \leq t \leq 2\pi \ \ (6) }$

βέβαια είναι γνωστό από το θεώρημα του Dandelin για τον κύλινδρο ότι η τομή είναι μια έλλειψη, όμως

η εξίσωση (6) είναι η παραμετρική μορφή αυτής και σύμφωνα με αυτήν έγιναν όλα τα σχήματα που

ανάρτησα. Θα μπορούσε όμως κάποιος να εργαστεί με κόπο στην (6) και να δείξει ότι αυτή είναι μια έλλειψη!)

Από τη σχέση (5) μπορούμε να αντιληφθούμε ότι ο τύπος:

$\displaystyle{f(x)=\frac{b}{4}(3+cos(x)), \ \ 0\leq x \leq 2\pi \ \ (7) }$

στο επίπεδο $\displaystyle{xOy}$ εκφράζει μια ημιτονοειδή καμπύλη, όπως φαίνεται στο κατωτέρω σχήμα:

: Τομή κυλίνδρου και επιπέδου 6.png (14.12 KiB) Προβλήθηκε 1513 φορές

Παρατήρηση:

Η μορφή της έλλειψης του τύπου (6) εξαρτάται από τη θέση πάντα του επιπέδου τομής.

Κώστας Δόρτσιος

#7

Άλλη προσέγγιση:

Ας θεωρήσουμε τον κύλινδρο y^2+z^2=1,

τεμνόμενο από το διαγώνιο επίπεδο $z=kx, k\neq 0.$ Αναπτύσσοντας τον ημικύλινδρο $y^2+z^2=1, y\geq 0$ επί του επιπέδου z=-1,

παρατηρούμε -- βλέπε συνημμένο -- ότι το τυχόν σημείο $(x, cos( \theta), sin(\theta)), -\dfrac{\pi}{2}\leq \theta \leq \dfrac{\pi}{2}$ του ημικυλίνδρου αναπτύσσεται/προβάλλεται στο σημείο $(x, \dfrac{\pi}{2}+\theta , -1)^$ αν τώρα το σημείο αυτό, $(x, cos( \theta), sin(\theta)),$ ανήκει και στο διαγώνιο επίπεδο $z=kx, k\neq 0,$ τότε έχει την μορφή $(x, \sqrt{1-k^2x^2}, kx),$ ενώ η προβολή του επί του z=-1

έχει την μορφή $(x, \dfrac{\pi}{2}+arcsin(kx), -1)$ , δημιουργώντας έτσι την συνάρτηση $g(x)= \dfrac{\pi}{2}+arcsin(kx), -\dfrac{1}{k}\leq x\leq \dfrac{1}{k}.$

Απολύτως ανάλογα αναπτύσσουμε και τον άλλο ημικύλινδρο, $y^2+z^2=1, y\leq 0,$ επί του επιπέδου z=-1,

λαμβάνοντας την $-g(x)= -\dfrac{\pi}{2}-arcsin(kx), -\dfrac{1}{k}\leq x\leq \dfrac{1}{k}.$ Ενώνοντας τα δύο γραφήματα λαμβάνουμε μία ημιτονοειδή τελικά καμπύλη -- βλέπε δεύτερο συνημμένο για k=3.

[Η τομή-έλλειψη, εφαπτόμενη στο (-1/3, 0, -1),

έχει όντως μηδενικό ανάπτυγμα για x=-1/3

και μέγιστο ανάπτυγμα $2\pi$ στο αντιδιαμετρικό σημείο, για x=1/3,

κλπ κλπ (Συγγνώμη για την κακή κλίμακα του γραφήματος!)]

#8

Λίγο διαφορετικά από την προηγούμενη δημοσίευση μου: αν ξετυλίξουμε τον κύλινδρο $(x, cos\theta , \sin\theta ), 0\leq \theta \leq 2\pi ,$ με μιας, ώστε το $(x, cos\theta , \sin\theta )$ να απεικονίζεται στο $(x, \theta , -1)=(x, arcsin(kx), -1),$ τότε λαμβάνουμε την συνάρτηση $g(x)=arcsin(kx), -1/k\leq x\leq 1/k.$ (Παράδειγμα στο συνημμένο για k=3,

ας συγκριθεί με αυτό της προηγούμενης δημοσίευσης μου.)

ΛΑΘΟΣ -- δείτε αμέσως επόμενη δημοσίευση

: ανάπτυγμα-κυλίνδρου-ΙΙ.png (20.09 KiB) Προβλήθηκε 1265 φορές

#9

gbaloglou έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 03, 2025 11:25 pm
Λίγο διαφορετικά από την προηγούμενη δημοσίευση μου: αν ξετυλίξουμε τον κύλινδρο $(x, cos\theta , \sin\theta ), 0\leq \theta \leq 2\pi ,$ με μιας, ώστε το $(x, cos\theta , \sin\theta )$ να απεικονίζεται στο $(x, \theta , -1)=(x, arcsin(kx), -1),$ τότε λαμβάνουμε την συνάρτηση $g(x)=arcsin(kx), -1/k\leq x\leq 1/k.$ (Παράδειγμα στο συνημμένο για ας συγκριθεί με αυτό της προηγούμενης δημοσίευσης μου.)

ανάπτυγμα-κυλίνδρου-ΙΙ.png

Υπάρχει καίριο λάθος στα παραπάνω, καθώς ... αν όντως θέλουμε ανάπτυγμα στο $(x, \phi, -1)$ ... τότε θα έπρεπε να χρησιμοποιήσουμε την γωνία $\phi$ μεταξύ της κατακορύφου και της ακτίνας, οπότε το τυχόν σημείο επί του κυλίνδρου είναι της μορφής $(x, sin\phi, -cos\phi)$ , $0\leq \phi\leq 2\pi$ (βλέπε πρώτο συνημμένο) ... οπότε, αν ισχύει και η z=kx,

προκύπτει η $x=-\dfrac{cos\phi}{k}=-\dfrac{cosy}{k}.$

Στο δεύτερο συνημμένο η παραπάνω ως προς

συνάρτηση για k=3.

: σωστή-γωνία.png (12.18 KiB) Προβλήθηκε 1098 φορές

: ανάπτυγμα-κυλίνδρου-ΙΙΙ.png (34.2 KiB) Προβλήθηκε 1098 φορές

Ανάπτυγμα τομής κυλίνδρου από επίπεδο

Ανάπτυγμα τομής κυλίνδρου από επίπεδο

Re: Ανάπτυγμα τομής κυλίδρου από επίπεδο

Re: Ανάπτυγμα τομής κυλίνδρου από επίπεδο

Re: Ανάπτυγμα τομής κυλίνδρου από επίπεδο

Re: Ανάπτυγμα τομής κυλίνδρου από επίπεδο

Re: Ανάπτυγμα τομής κυλίνδρου από επίπεδο

Re: Ανάπτυγμα τομής κυλίνδρου από επίπεδο

Re: Ανάπτυγμα τομής κυλίνδρου από επίπεδο

Re: Ανάπτυγμα τομής κυλίνδρου από επίπεδο

Μέλη σε σύνδεση