Συγχρόνως τέλειοι κύβοι (Δελτίο 8)

Γιώργος Απόκης · #1

Να εξετάσετε αν υπάρχουν τιμές του ακέραιου

ώστε οι αριθμοί a=n+3

και

να είναι συγχρόνως τέλειοι κύβοι.

#2

Aν υπάρχει

ακέραιος τέτοιος ώστε οι n+3,n^2+3

να είναι συγχρόνως τέλειοι κύβοι, τότε θα είναι τέλειος κύβος και το γινόμενό τους.

Όμως $\left( n+3\right)\left( n^2+3\right)=n^3+3n^2+3n+9=(n+1)^3+8$ .

Εύκολα μπορούμε να αποδείξουμε ότι (n+1)^3<(n+1)^3+8<(n+3)^3

όταν

ή

.

Ο μοναδικός τέλειος κύβος ανάμεσα στους (n+1)^3,(n+3)^3

είναι ο

.

Η εξίσωση (n+1)^3+8=(n+2)^3

είναι αδύνατη στους ακεραίους αφού είναι ισοδύναμη με την 3n^2+9n=1

.

Άρα οι μόνες πιθανές τιμές είναι n=-3,-2,-1

.

Καμμία από αυτές δεν κάνει τους n+3,n^2+3

να είναι συγχρόνως τέλειοι κύβοι.

Άρα δεν υπάρχει τέτοιος ακέραιος.

Συγχρόνως τέλειοι κύβοι (Δελτίο 8)

Συγχρόνως τέλειοι κύβοι (Δελτίο 8)

Re: Συγχρόνως τέλειοι κύβοι

Μέλη σε σύνδεση