Αχρηστος τύπος για πρώτους

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Να δειχθεί ότι υπάρχει $a\in (0,1)$

ώστε $p_{n}=\left [ 10^{2^{n}}a \right ]-10^{2^{n-1}}\left [ 10^{2^{n-1}}a \right ]$

όπου $p_{n}$ είναι ο

στός πρώτος

#2

Ορίζουμε $\displaystyle{a=0.02030005 \ldots}$ ως εξής:

Κάνουμε το πρώτο δεκαδικό ψηφίο ίσο με

. Από το δεκαδικό ψηφίο της θέσης $2^{n-1}+1$ μέχρι το δεκαδικό ψηφίο της θέσης 2^n

θα τοποθετήσουμε τον αριθμό p_n

. Υπάρχουν $2^n - 2^{n-1} = 2^{n-1}$ ελεύθερες θέσεις. Αν ο αριθμός p_n

έχει λιγότερα ψηφία, π.χ.

, τότε στην αρχή τοποθετούμε όσα μηδενικά χρειάζονται, δηλαδή $2^{n-1} - k$ .

Για να δείξουμε ότι το

είναι καλώς ορισμένο, πρέπει να δείξουμε ότι $\displaystyle{ p_n < 10^{2^{n-1}}}$ ώστε να υπάρχουν όντως όσα ελεύθερα ψηφία χρειάζονται ώστε να τον τοποθετήσουμε. Αυτό αποδεικνύεται εύκολα επαγωγικά χρησιμοποιώντας το δεδομένο (το οποίο προκύπτει από την απόδειξη του Ευκλείδη) ότι $p_{n+1} \leqslant p_1 \cdots p_n + 1$ . (Υπάρχουν βέβαια και αρκετά καλύτερα φράγματα.)

Είναι άμεσο ότι ο

έχει την ζητούμενη ιδιότητα.

Αχρηστος τύπος για πρώτους

Αχρηστος τύπος για πρώτους

Re: Αχρηστος τύπος για πρώτους

Μέλη σε σύνδεση