n-ψήφιος αριθμός

glinos · #1

Δίνεται ο φυσικός αριθμός $A=\underset{n}{\underbrace{\overline{aa...a}}}$ , όπου

ψηφίο και $n\in \mathbb{N}^{\ast}$ .

Να αποδειχθεί οτί εάν ο

δεν είναι μονοψήφιος, τότε ο

δεν μπορεί να είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου.

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

Καταρχάς θα αποδείξουμε πως ο αριθμός K=11111....1

(

άσσοι με

) δεν είναι τέλειο τετράγωνο.

Πράγματι αυτός ο αριθμός είναι της μορφής 4m+3

(αφού το

διαιρείται με το

), άρα δεν μπορεί να είναι τέλειο τετράγωνο.

Άρα ούτε οι αριθμοί $4\cdot K$ και $9\cdot K$ είναι τέλεια τετράγωνα.

Ούτε όμως οι αριθμοί $2\cdot K$ , $3\cdot K$ , $7\cdot K$ , $8\cdot K$ , καθώς λήγουν σε 2, 3, 7

και

αντίστοιχα, ψηφία που δεν λήγουν ποτέ τα τέλεια τετράγωνα.

Οι αριθμοί τώρα $5\cdot K$ , $6\cdot K$ , διαιρούνται από το

και από το

αντίστοιχα σε περιττό βαθμό, επομένως επίσης δεν είναι τέλεια τετράγωνα.

Και το ζητούμενο έπεται.

n-ψήφιος αριθμός

n-ψήφιος αριθμός

Re: n-ψήφιος αριθμός

Μέλη σε σύνδεση