Πληθάριθμος των υποομάδων

slash · #1

Μου γεννήθηκε η εξής απορία : Ποιος είναι ο πληθάριθμος του συνόλου των προσθετικών υποομάδων του

; Είναι ο πληθάριθμος του συνεχούς ή μεγαλύτερος ;

#2

Έστω μια βάση Hamel

του $\mathbb{R}$ υπέρ του $\mathbb{Q}$ . Για κάθε $A \subseteq H$ έστω G_A

η μικρότερη προσθετική υποομάδα του $\mathbb{R}$ που περιέχει το

. Είναι απλό ότι η G_A

είναι το σύνολο όλων των πεπερασμένων ακέραιων γραμμικών συνδυασμών των στοιχείων του

. Επειδή η

είναι βάση Hamel, έπεται εύκολα ότι G_A = G_B

αν και μόνο αν A = B

. Οπότε ο πληθάριθμος των υποομάδων είναι τουλάχιστον $2^{|H|} = 2^{|\mathbb{R}|} > |\mathbb{R}|$ .

[Επειδή το $\mathbb{R}$ έχει ακριβώς $2^{|\mathbb{R}|}$ υποσύνολα, τότε ο πληθάριθμος των υποομάδων ισούται και αυτός με $2^{|\mathbb{R}|}$ .]

Πληθάριθμος των υποομάδων

Πληθάριθμος των υποομάδων

Re: Πληθάριθμος των υποομάδων

Μέλη σε σύνδεση