Ισοδυναμία εκφράσεων

opener · #1

Γεια σας!

Διαβάζοντας τον αυστηρό ορισμό του ορίου (με ε-δ) μου δημιουργήθηκη η παρακάτω, μάλλον τετριμμένη, απορία.
Η wikipedia λέει συγκεκριμένα:

Let $f : D \rightarrow \mathbb{R}$ be a function defined on a subset $D \subseteq \mathbb{R}$ , let c be a limit point of D, and let L be a real number. Then:...

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow c}{f(x)}=L \Leftrightarrow(\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x \in D)(0<|x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon)}$

Αυτό είναι ισοδύναμο με το
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow c}{f(x)}=L \Leftrightarrow(\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x \in D\cap (c-\delta,c+\delta) \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon)}$ ?
Γενικότερα $(\forall x \in A)(x\in B \Rightarrow P(x))\Leftrightarrow (\forall x \in A\cap B \Rightarrow P(x))$ , όπου Ρ(χ) μια πρόταση του χ?
Νομίζω πως ναι.Τι λέτε?

Ευχαριστώ!!

#2

Υπάρχει ένα πρόβλημα με αυτά που γράφεις. Γράφεις φράσεις της μορφής « $\forall x \in A \Rightarrow P(x)$ » οι οποίες όμως δεν έχουν νόημα. Το σωστό είναι να γραφτεί « $\forall x \in A\; P(x)$ »

Αυστηρότερα εφόσον εργαζόμαστε στην θεωρία των πραγματικών αριθμών, όποτε γράφουμε « $\forall x$ » εννοείται ότι ο

είναι πραγματικός. Αντί να γράφουμε « $\forall x \in A\; P(x)$ » το αυστηρά σωστό είναι « $\forall x\; x \in A \Rightarrow P(x)$ . Συνήθως όμως αποφεύγουμε αυτήν την αυστηρότητα διότι κάνει τις προτάσεις μας ακόμη μεγαλύτερες. Π.χ. κανονικά θα έπρεπε να γράψουμε

$\displaystyle{ \forall \varepsilon\; (\varepsilon > 0 \Rightarrow \exists \delta \; (\delta > 0 \wedge (\forall x \; (x \in D \cap ((c-\delta,c) \cup (c,c+\delta)) \Longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon))))}$

Επεξεργασία: Διόρθωσα αβλεψία μετά από την παρατήρηση του Μ. Λάμπρου.

#3

opener έγραψε:

$\displaystyle{... (\forall x \in D)(0<|x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon)}$
Αυτό είναι ισοδύναμο με το
$\displaystyle{...(\forall x \in D\cap (c-\delta,c+\delta) \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon)}$ ?

Πέρα από όλα τα άλλα πρέπει στο δεύτερο να προσθέσεις $x \ne c$ . Αλλιώς το δεύτερο είναι ισχυρότερη απαίτηση από ότι το πρώτο.

Ισοδυναμία εκφράσεων

Ισοδυναμία εκφράσεων

Re: Ισοδυναμία εκφράσεων

Re: Ισοδυναμία εκφράσεων

Μέλη σε σύνδεση