Συνέπεια της ZFC

[stranger]

Καλησπέρα .
Θέλω να μιλήσω λίγο για την συνέπεια της ZFC.
Βρήκα ένα μοντέλο των αξιωμάτων της ZFC εκτός των δύο αξιωμάτων schema.
Αν πάρουμε για και ορίσουμε την σχέση με ,,
τότε μπορούμε να τσεκάρουμε ότι το μαθηματικό σύμπαν ικανοποιεί τα 7 από τα 9 αξιώματα της ZFC.
Προσπαθώ να τσεκάρω τα άλλα δυο όμως μπαίνουνε στη μέση φόρμουλες που δεν ξέρω πως μεταφράζονται στον .
Μπορεί κάποιος να με βοηθήσει να τις τσεκάρω.
Είναι αξιωσημείωτο ότι το ικανοποιεί το αξίωμα του απείρου.

[Demetres]

Δεν νομίζω ότι ισχύουν και τα 7.

Π.χ. δεν ισχύει το axiom of regularity/foundation αφού το συγκεκριμένο αξίωμα έχει ως συνέπεια ότι για κάθε .

Επίσης, αναλόγως με το πως θα γραφτεί το Axiom of Pairing τότε μπορεί και να μην ισχύει. Π.χ. το σύνολο δεν ανήκει στο V αφού δεν είναι ούτε το ούτε το .

Ορισμένες φορές το Axiom of Pairing είναι πιο ασθενές και για κάθε δίνει ύπαρξη συνόλου που περιέχει τα αντί το σύνολο . Εδώ ισχύει αυτό το πιο ασθενές Axiom of Pairing. Σίγουρα όμως δεν ισχύει το Axiom of Specification/Separation. Το συγκεκριμένο δίνει ύπαρξη συνόλου ώστε . Τέτοιο σύνολο όμως πάλι δεν υπάρχει στο .

Επίσης δεν είμαι σίγουρος ότι ισχύει το Axiom of Infinity αφού το δεν ανήκει στο .

[stranger]

Το axiom of foundation ισχύει παρόλο που έχουμε ότι . Μάλλον για να πάρεις ότι αν ισχύει το axiom of foundation συνεπάγεται ότι μάλλον χρησιμοποιείς ένα από τα αξιώματα schema που δεν ισχύουν στο συγκεκριμένο μοντέλο.
Axiom of Foundation
Για κάθε έχουμε ότι αν τότε υπάρχει ώστε .
Απόδειξη στο συγκεκριμένο μοντέλο.
Έστω τότε αναγκαστικά . Αν πάρεις τότε .

Έχεις δίκιο για το αξίωμα του απείρου.Δεν ισχύει.
Άρα μπορούμε να πούμε ότι το συγκεκριμένο αποτέλεσμα δείχνει ότι η είναι συνεπής;
Αν ναι υπάρχει καμία απόδειξη ότι αν η είναι συνεπής τότε και η θα είναι συνεπής;

[Demetres]

Το axiom of foundation ισχύει παρόλο που έχουμε ότι . Μάλλον για να πάρεις ότι αν ισχύει το axiom of foundation συνεπάγεται ότι μάλλον χρησιμοποιείς ένα από τα αξιώματα schema που δεν ισχύουν στο συγκεκριμένο μοντέλο.
Axiom of Foundation
Για κάθε έχουμε ότι αν τότε υπάρχει ώστε .

Ναι το έγραψα βιαστικά αυτό και δεν το σκέφτηκα. Έχεις δίκαιο. Το χρησιμοποιεί Foundation + την μορφή του Pairing που έγραψα (ή Pairing + Specification) αν χρησιμοποιήσεις την πιο ασθενή μορφή του Pairing

Απόδειξη: Από Pairing + Specification υπάρχει το σύνολο . Επειδή τότε υπάρχει ώστε . Όμως . Άρα ή ισοδύναμα .

[stranger]

Νομίζω ότι κανείς δεν μπορει να αμφισβητήσει ότι το με και είναι μοντέλο του .
Αντί για το και το βάλτε όποια σύμβολα θέλετε, δεν έχει σημασία.
Άρα αφού το έχει μοντέλο τότε το είναι συνεπές(Θεώρημα Godel).
Το θέμα είναι ότι όλες οι αποδείξεις συνέπειας είναι σχετικές. Δηλαδή ότι είναι συνεπές τότε και το είναι συνεπές.
Δεν έχω ξαναδεί πουθενά απόλυτη απόδειξη συνέπειας. Ποιά είναι η γνώμη σας; Είναι η παραπάνω απόλυτη απόδειξη συνέπειας;
Ένας θα μπορούσε να πει ότι οι απόλυτες αποδείξεις συνέπειας δεν υπάρχουν, γιατί για να χτίσεις ένα μοντέλο για ένα σύστημα πρέπει να ξεκινήσεις από κάπου αλλού(δεν μπορείς να χτίσεις μοντέλο από το πουθενά).
Με άλλες λέξεις μπορεί να μου πει κάποιος τι ε'ιναι το και το που γράφεις; Δεν πρέπει να τα ορίσουμε πρώτα;
Από μια άποψη έχει δίκιο. Είναι δηλαδή κάπως θέμα οπτικής γωνίας.
Αν το δούμε από κάποια(πιο σωστή) οπτική γωνία μπορούμε να πούμε ότι το συγκεκεριμένο σύνολο( ) σίγουρα υπάρχει στον κόσμο της αντίληψής μας και κανείς να αμφισβητήσει ότι το μαζί με την συνθήκη είναι κάτι που υπάρχει. Δεν είναι σαν το σύνολο όλων των συνόλων που είναι περίεργο αντικείμενο αφου έχει την ιδιότητα ότι ανήκει στον εαυτό του.
Καλός είναι ο φορμαλισμός αλλά είναι καλύτερα να έχουμε τα μάτια μας ανοιχτά.
Περιμένω τη γνώμη σας πάνω σε αυτό τι θέμα(όχι αναγκαστικά για το ) αλλά γενικά στο θέμα που θίγεται.

[Μάρκος Βασίλης]

Αν το δούμε από κάποια(πιο σωστή) οπτική γωνία μπορούμε να πούμε ότι το συγκεκεριμένο σύνολο( ) σίγουρα υπάρχει στον κόσμο της αντίληψής μας και κανείς να αμφισβητήσει ότι το μαζί με την συνθήκη είναι κάτι που υπάρχει. Δεν είναι σαν το σύνολο όλων των συνόλων που είναι περίεργο αντικείμενο αφου έχει την ιδιότητα ότι ανήκει στον εαυτό του.

Νομίζω ότι παρα-είναι υποκειμενικό να πούμε με σιγουριά ότι ένα τέτοιο σύνολο υπάρχει στον κόσμο της «αντίληψής» μας. Αν αυτή η δομή αντιστοιχεί σε κάποιον κοινό τόπο της αντίληψής μας, ποια είναι η επιδιωκόμενη ερμηνεία του συμβόλου κατηγορήματος ;

Αν το γράψουμε με αναγραφή, βλέπουμε ότι , δηλαδή το ερμηνεύεται ως την παραπάνω διμελή σχέση η οποία δε βλέπω γιατί πρέπει να έχει κατ' ανάγκη μία «κοινή αντιληπτική ερμηνεία».

[stranger]

Δηλαδή δεν συμφωνείς ότι τα σύνολα και είναι κάτι που υπάρχει;
Είναι δυνατόν να θεωρήσεις αυτά τα σύνολα και να καταλήξεις σε άτοπο;

[stranger]

Νομίζω ότι παρα-είναι υποκειμενικό να πούμε με σιγουριά ότι ένα τέτοιο σύνολο υπάρχει στον κόσμο της «αντίληψής» μας.
Αν το γράψουμε με αναγραφή, βλέπουμε ότι , δηλαδή το ερμηνεύεται ως την παραπάνω διμελή σχέση η οποία δε βλέπω γιατί πρέπει να έχει κατ' ανάγκη μία «κοινή αντιληπτική ερμηνεία».

Με σιγουριά δεν μπορούμε να το ξέρουμε βέβαια, όμως δεν είναι κάτι που πείθει τους μαθηματικούς(όχι όλους βέβαια) ότι η θεωρία είναι συνεπής;
Εσένα δεν σε πείθει αυτό το επιχείρημα;

[Μάρκος Βασίλης]

Νομίζω ότι παρα-είναι υποκειμενικό να πούμε με σιγουριά ότι ένα τέτοιο σύνολο υπάρχει στον κόσμο της «αντίληψής» μας.
Αν το γράψουμε με αναγραφή, βλέπουμε ότι , δηλαδή το ερμηνεύεται ως την παραπάνω διμελή σχέση η οποία δε βλέπω γιατί πρέπει να έχει κατ' ανάγκη μία «κοινή αντιληπτική ερμηνεία».

Με σιγουριά δεν μπορούμε να το ξέρουμε βέβαια, όμως δεν είναι κάτι που πείθει τους μαθηματικούς(όχι όλους βέβαια) ότι η θεωρία είναι συνεπής;
Εσένα δεν σε πείθει αυτό το επιχείρημα;

Το επιχείρημα - για να σιγουρευτώ ότι μιλάμε για το ίδιο πράγμα - είναι το «είναι πολύ απλή δομή για να μην υπάρχει»;

[stranger]

Ναι ακριβώς αυτό εννοώ. Όπως για παράδειγμα δεν μπορείς να πεις ότι το σύνολο δεν υπάρχει. Είναι τόσο απλό που δεν γίνεται να μην υπάρχει. Αν δεν υπάρχει αυτό, τότε δεν υπάρχει τίποτα.

[Μάρκος Βασίλης]

Ναι ακριβώς αυτό εννοώ. Όπως για παράδειγμα δεν μπορείς να πεις ότι το σύνολο δεν υπάρχει. Είναι τόσο απλό που δεν γίνεται να μην υπάρχει. Αν δεν υπάρχει αυτό, τότε δεν υπάρχει τίποτα.

Μεγάλη κουβέντα αυτή που είπες τώρα. Ένα πολύ ωραίο επιχείρημα για το ότι τα σύνολα δεν είναι, εν γένει, μέρος του υλικού κόσμου - υπό την έννοια του κόσμου της αντίληψής μας - είναι αυτό του Chihara (1982, A Gödelian thesis regarding mathematical objects: Do they exist? And can we perceive them? The Philosophical Review, XCI, pp. 211-227.) το οποίο βασίζεται στην εξής παρατήρηση -το μεταφέρω αυτούσιο:

«Έχουμε ένα γραφείο μπροστά μας το οποίο έχει καθαριστεί από κάθε αντικείμενο που ενδεχομένως να υπήρχε πάνω του και τοποθετούμε επί αυτού ένα μήλο. Οι αισθήσεις μας αντιλαμβάνονται σίγουρα το μήλο ως ένα φυσικό αντικείμενο (χωρίς καμία αφαίρεση), ωστόσο, μπορεί κανείς να ισχυριστεί ότι ταυτόχρονα βλέπουμε και το μονοσύνολο που περιέχει το (ένα) μήλο. Αν ωστόσο το μήλο ως φυσικό αντικείμενο και το μονοσύνολο που περιέχει το μήλο, ως αφηρημένη κατασκευή, δημιουργούν την ίδια αντίληψη του κόσμου, γιατί να θεωρήσουμε ότι το αφηρημένο (το σύνολο, δηλαδή) είναι αυτό που αντιλαμβανόμαστε επιπρόσθετα με το φυσικό αντικείμενο (το μήλο)».

Κατ' επέκταση, αν δούμε τους φυσικούς αριθμούς σαν πληθαρίθμους συνόλων, αν τα δεύτερα δεν είναι κατ' ανάγκη μέρος της αντίληψής μας γιατί/πώς να είναι οι φυσικοί αριθμοί;

[stranger]

Στην ZFC έχουμε ότι κάθε μαθηματικό αντικείμενο είναι σύνολο. Μπορεί να ρωτήσει κάποιος και τι γίνεται με τον πραγματικό κόσμο που περιέχει γάτες η αγελάδες; Η απάντηση έγκειται στο γεγονός ασχολούμαστε μόνο με τα (αφηρημένα) μαθηματικά αντικείμενα. Βασικά στην ZFC όλα τα μαθηματικά αντικείμενα προέρχονται από το κενό σύνολο χρησιμοποιώντας διαδοχικά την ένωση και το δυναμοσύνολο ενός συνόλου, που υπάρχει σύμφωνα με τα αξιώματα.
Άρα στα μαθηματικά ασχολούμαστε μόνο με μαθηματικά αντικείμενα. Μπορεί κάποιος να πει ότι το μονοσύνολο που περιέχει ένα μήλο(όπως λες) δεν υπάρχει στην ZFC.Τώρα αν αυτά τα αντικείμενα υπάρχουν, πολλοί διαφωνούν. Άλλοι λένε ότι είναι στη φαντασία μας και άλλοι πλατωνικοί λένε ότι έχουνε αληθινή ύπαρξη. Αυτό είναι πρόβλημα της φιλοσοφίας και όχι των μαθηματικών. Και ως γνωστόν ένα φιλοσοφικό πρόβλημα δεν γίνεται να λυθεί.
Αυτό που θέλω να πω είναι ότι αν κοιτάξουμε με μαθηματική σκοπιά και όχι με φιλοσοφική είναι σχεδόν αδύνατο να φανταστεί κανείς ότι το δεν έχει μοντέλο. Εκτός αν πιστεύεις ότι όλα τα αξιωματικά συστήματα δεν είναι συνεπή. Αυτό εννοώ όταν λέω ότι το έχει ύπαρξη, δηλαδή εννοώ ότι υπάρχει μοντέλο του .
Απευθύνομαι στον μαθηματικό μέσα σου και όχι στον φιλόσοφο(που αμφισβητεί τα πάντα).Υπάρχει περίπτωση να υποθέσεις μόνο ότι το υπάρχει και να καταλήξεις σε άτοπο; Εσύ τι πιστεύεις;

[Μάρκος Βασίλης]

Αρχικά, αναφέρθηκες στο ότι «σίγουρα υπάρχει στον κόσμο της αντίληψής μας» οπότε και σου απάντησα πάνω σε αυτό - ο,τιδήποτε άπτεται του φυσικού (physical), του «φυσικού» (natural) και του υλικού (material) κόσμου είναι για εμένα μέρος της φιλοσοφίας.

Σε σχέση τώρα με το αν υπάρχει το μονοσύνολο με την τελευταία έννοια που αναφέρεις - δηλαδή, αν υπάρχει «μοντέλο» - σε μία πρωτοβάθμια γλώσσα υποθέτουμε a priori ότι το σύμπαν της δομής είναι μη κενό, επομένως, ασφαλώς, κάτι θα υπάρχει εκεί μέσα. Όμως, υπάρχει διότι το υποθέτουμε ότι υπάρχει.

[stranger]

Συμφωνώ με όσα παραπάνω πολύ σωστά είπες. Δεν μπορούμε να είμαστε σίγουροι (όπως είπα και παραπάνω) ότι το σύνολο έχει μοντέλο.
Η ερώτηση μου έχει να κάνει με θέμα πίστης μιας συγκεκριμένης ιδιότητας.
Αυτό που λέω είναι ότι σχεδόν όλοι οι μαθηματικοί πιστεύουν ότι τέτοιο μοντέλο υπάρχει.
Για παράδειγμα αν δείξουμε ότι αν η θεωρία είναι συνεπής τότε και η θα είναι συνεπής,τότε θα έχουμε δείξει ότι αν τα σύνολα και έχουν μοντέλο τότε και η έχει μοντέλο που σημαίνει ότι η είναι συνεπής.
Είναι πολύ πιο εύκολο να πιστέψεις ότι τα σύνολα και είναι συνεπή παρά να πιστέψεις ότι η είναι συνεπής.
Όπως και ξαναείπα πολλές φορές. Πιστεύεις ότι γίνεται να θεωρήσεις ότι τα σύνολα και υπάρχουν και να καταλήξεις σε άτοπο; Νομίζω ότι περισσότεροι μαθηματικοί συμφωνούν σε αυτό.

[Μάρκος Βασίλης]

Συμφωνώ με όσα παραπάνω πολύ σωστά είπες. Δεν μπορούμε να είμαστε σίγουροι (όπως είπα και παραπάνω) ότι το σύνολο έχει μοντέλο.
Η ερώτηση μου έχει να κάνει με θέμα πίστης μιας συγκεκριμένης ιδιότητας.
Αυτό που λέω είναι ότι σχεδόν όλοι οι μαθηματικοί πιστεύουν ότι τέτοιο μοντέλο υπάρχει.
Για παράδειγμα αν δείξουμε ότι αν η θεωρία είναι συνεπής τότε και η θα είναι συνεπής,τότε θα έχουμε δείξει ότι αν τα σύνολα και έχουν μοντέλο τότε και η έχει μοντέλο που σημαίνει ότι η είναι συνεπής.
Είναι πολύ πιο εύκολο να πιστέψεις ότι τα σύνολα και είναι συνεπή παρά να πιστέψεις ότι η είναι συνεπής.
Όπως και ξαναείπα πολλές φορές. Πιστεύεις ότι γίνεται να θεωρήσεις ότι τα σύνολα και υπάρχουν και να καταλήξεις σε άτοπο; Νομίζω ότι περισσότεροι μαθηματικοί συμφωνούν σε αυτό.

Έχω την εντύπωση ότι τα μαθηματικά δεν είναι, εν γένει, θέμα «πίστης». Ωστόσο, το επιχείρημα που παραθέτεις για τη συνέπεια της ZFC μέσω της συνέπειας της θεωρίας T που αναφέρεις δεν ευσταθεί, αν μείνουμε μέσα στη ZFC. Εξηγούμαι. Για να μιλήσουμε για όλα αυτά, χρειαζόμαστε μία μέτα-γλώσσα - της οποίας θα δεχτούμε τη συνέπεια, για να κάνουμε ουσιώδεις αποδείξεις κ.λπ. μέσα σε αυτήν - μέσα στην οποία θα διατυπώσουμε τον ισχυρισμό της συνέπειας της T. Ωστόσο, αν επιλέξουμε την ZFC - θεωρώντας την επαρκώς εκφραστική - για να μιλήσουμε για τη συνέπεια της T, και μετά, με οποιονδήποτε τρόπο, αποδείξουμε από τη συνέπεια της Τ τη συνέπεια της ZFC έχουμε κάνει μία τρύπα στο νερό, διότι ξεκινήσαμε με την σιωπηρή αποδοχή της συνέπειας της ZFC.

Ωστόσο, μπορούμε να κινηθούμε σε ένα πιο ισχυρό πλαίσιο - π.χ. τη θεμελίωση κατά MK - και να αποδείξουμε, χωρίς κάποιο πρόβλημα, τη συνέπεια της ZFC - αυτό βέβαια δε σημαίνει ότι μπορούμε μέσα στην MK να αποδείξουμε τη συνέπεια της ίδιας της MK, αλλά είναι σαν να παίζουμε μία συνολοθεωρητική κολοκυθιά έτσι.

Εν γένει, για να θεωρήσουμε τη θεωρία που λες, λοιπόν, θα πρέπει να κάνουμε μία πολύ μεγαλύτερη υπόθεση πρώτα - εξ ου και γιατί δεν υπάρχουν ουσιώδης αποδείξεις «απόλυτης» συνέπειας - πράγμα που σημαίνει ότι δε διαφέρει καθόλου η «πίστη» στην συνέπεια αυτής της θεωρίας από την «πίστη» στη συνέπεια της ZFC - εξ ου και μία τέτοια συζήτηση είναι «καταδικασμένη» να περάσει και από φιλοσοφικά χωράφια.

[stranger]

Για να μιλήσουμε για όλα αυτά, χρειαζόμαστε μία μέτα-γλώσσα - της οποίας θα δεχτούμε τη συνέπεια, για να κάνουμε ουσιώδεις αποδείξεις κ.λπ. μέσα σε αυτήν - μέσα στην οποία θα διατυπώσουμε τον ισχυρισμό της συνέπειας της T. Ωστόσο, αν επιλέξουμε την ZFC - θεωρώντας την επαρκώς εκφραστική - για να μιλήσουμε για τη συνέπεια της T, και μετά, με οποιονδήποτε τρόπο, αποδείξουμε από τη συνέπεια της Τ τη συνέπεια της ZFC έχουμε κάνει μία τρύπα στο νερό, διότι ξεκινήσαμε με την σιωπηρή αποδοχή της συνέπειας της ZFC.

Όλες οι αποδείξης συνέπειας λαμβάνουν χώρα στη μεταθεωρία. Δεν χρειάζεται να θεμελιώσουμε την μετα-θεωρία. Δεν υποθέτουμε ότι η είναι συνεπής πουθενά. Δεν διατυπώνουμε την συνέπεια της στην , αλλά στην μεταθεωρία.